Notasi Sigma: Bahasa Singkat Penjumlahan — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membaca dan menulis penjumlahan dalam notasi $\sum$ , mengganti rumus suku, dan memakai sifat linearitas sigma.

Guru menulis di papan: $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 99$ . Menjumlahkan satu per satu butuh 50 langkah. Tetapi cukup satu simbol untuk menuliskannya semua: $\sum_{k=1}^{50}(2k-1)$ . Notasi sigma ( $\Sigma$ ) adalah singkatan matematika untuk “jumlahkan suku-suku berikut”. Begitu kamu bisa membacanya, deretan puluhan suku jadi setungal ringkas. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan tombol preset batas berbeda, lalu perhatikan batang deret kumulatif yang tumbuh.

Anatomi notasi sigma

Notasi $\sum$ (huruf Yunani “sigma” besar) berarti “jumlahkan”. Empat bagian utamanya: indeks ( $k$ , variabel yang berjalan), batas bawah ( $k=1$ , nilai awal indeks), batas atas ( $n$ , nilai akhir indeks), dan rumus suku ( $f(k)$ , apa yang dijumlahkan tiap langkah).

$\sum_{k=1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(n)$

Arti tiap simbol: $k$ = indeks (variabel berjalan), $1$ = batas bawah, $n$ = batas atas, $f(k)$ = rumus suku ke- $k$ .

Bayangkan $\Sigma$ sebagai perintah loop di pemrograman: “untuk $k$ dari 1 sampai $n$ , hitung $f(k)$ lalu tambahkan ke total.” Indeks $k$ bertambah satu tiap langkah, dan jumlah seluruh nilai $f(k)$ adalah hasil sigma.

Mengganti rumus suku

Indeks $k$ sama, tetapi rumus suku bisa apa saja. Dengan $f(k) = k$ kamu dapat $\sum_{k=1}^{4} k = 1+2+3+4 = 10$ . Ganti rumus jadi $f(k) = 2k-1$ maka $\sum_{k=1}^{4}(2k-1) = 1+3+5+7 = 16$ — bilangan ganjil. Pada deret di bawah, batang kumulatif tumbuh mengikuti rumus suku yang berbeda; perhatikan perubahan bentuk ketika rumus suku diganti.

Sifat linearitas sigma

Sigma bersifat linear: konstanta boleh dikeluarkan, dan sigma atas jumlah sama dengan jumlah sigma. Yakni $\sum c \cdot f(k) = c \sum f(k)$ dan $\sum (f(k) + g(k)) = \sum f(k) + \sum g(k)$ . Sifat ini sangat berguna saat menyingkat penjumlahan rumit menjadi kombinasi rumus deret yang sudah dikenal.

$\sum_{k=1}^{n} c \cdot f(k) = c \sum_{k=1}^{n} f(k), \qquad \sum_{k=1}^{n} \bigl(f(k) + g(k)\bigr) = \sum_{k=1}^{n} f(k) + \sum_{k=1}^{n} g(k)$

Arti tiap simbol: $c$ = konstanta, $f(k)$ dan $g(k)$ = rumus suku, $n$ = batas atas, $k$ = indeks.

Pada deret di bawah, bandingkan $\sum k$ saja dengan $\sum 3k$ — keduanya punya bentuk kurva sama, hanya dikalikan 3. Inilah inti sifat linearitas: konstanta keluar, sisanya tidak berubah.

Di UTBK Pengetahuan Kuantitatif, soal sigma sering berbentuk menyederhanakan ekspresi $\sum$ panjang atau menghitung nilai numeriknya cepat. Triknya: pisahkan jadi deret aritmetika/deret kuadrat yang rumusnya sudah dikenal, lalu hitung masing-masing. Jebakan paling sering: salah membaca batas (misalnya mulai dari $k=0$ atau $k=2$ , bukan $k=1$ ), sehingga jumlah suku yang dijumlahkan meleset.

Latihan: hitung nilai Σ

Sekarang uji sendiri. Tiap kali kamu menekan tombol soal baru, angkanya berganti secara acak tapi bisa direproduksi. Kerjakan di kertas, lalu ketik jawabanmu.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Hitung nilai $\sum_{k=1}^{6} (3k + 2)$ .

$\sum_{k=1}^{6}(3k+2) = 3 \sum_{k=1}^{6} k + \sum_{k=1}^{6} 2$ . Konstanta 3 keluar; jumlah tetap dipisah.

$\sum_{k=1}^{6} k = \dfrac{6 \times 7}{2} = 21$ . Sementara $\sum_{k=1}^{6} 2 = 2 \times 6 = 12$ (konstanta 2 dijumlahkan 6 kali).

$3 \times 21 + 12 = 63 + 12 = 75$ . Jadi $\sum_{k=1}^{6}(3k+2) = 75$ . Verifikasi langsung: $(3+2)+(6+2)+(9+2)+(12+2)+(15+2)+(18+2) = 5+8+11+14+17+20 = 75$ .

Jebakan: salah menghitung banyak suku karena batas dimulai dari $k=0$ atau $k=2$ . Yang benar: banyak suku = batas atas $-$ batas bawah $+ 1$ (kedua batas inklusif), jadi $\sum_{k=2}^{8}$ berisi 7 suku, bukan 6.

Jebakan: mengira $\sum_{k=1}^{n} c \cdot f(k) = c \cdot n \cdot f(1)$ . Yang benar: konstanta $c$ keluar menjadi $c \sum f(k)$ , tetapi $\sum f(k)$ tetap menjumlahkan $f(1)+f(2)+\dots+f(n)$ , bukan $n \cdot f(1)$ kecuali $f$ konstan.

Jebakan: menambah-mengurangi indeks tanpa menyesuaikan batas. Yang benar: kalau mengganti indeks $j = k-1$ , batas bawah dan atas juga ikut bergeser satu satuan agar jumlah suku tetap.

$\sum_{k=1}^{n} f(k) = f(1)+f(2)+\dots+f(n)$ — sigma menjumlahkan rumus suku.
Empat bagian: indeks $k$ , batas bawah, batas atas, dan rumus suku $f(k)$ .
Linearitas: konstanta keluar $\sum c \cdot f(k) = c \sum f(k)$ ; jumlah terpisah $\sum(f+g) = \sum f + \sum g$ .
Banyak suku = batas atas $-$ batas bawah $+ 1$ (keduanya inklusif).
Untuk deret aritmetika, $\sum_{k=1}^{n}(a \cdot k + b) = a \cdot \tfrac{n(n+1)}{2} + b \cdot n$ .