Deret Aritmetika: Jumlah n Suku

Setelah ini kamu bisa menjumlahkan $n$ suku deret aritmetika dengan rumus $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$ dan menjelaskan trik pasangan Gauss.

Gurumu menyuruh menjumlahkan $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ . Kalau dijumlah satu per satu, itu ratusan langkah. Tetapi ada trik: pasangkan $(1+100)$ , $(2+99)$ , $(3+98)$ , dan seterusnya — tiap pasangan berjumlah $101$ , dan ada $50$ pasangan. Hasilnya $5.050$ dalam sekejap. Itulah inti deret aritmetika. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba tekan tombol preset beda berbeda, lalu perhatikan batang deret yang makin tinggi ke kanan.

Dari barisan ke deret

Kalau kamu menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika, hasilnya disebut deret. Jumlah $n$ suku pertama dilambangkan $S_n$ . Karena tiap suku teratur, kamu tidak perlu menjumlah satu per satu — ada rumus praktis yang berakar pada trik pasangan Gauss.

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku barisan aritmetika. Jumlah $n$ suku pertama $S_n = U_1 + U_2 + \dots + U_n$ .

Bayangkan deretan batu bata yang tersusun tangga: paling bawah 1 batu, di atasnya 2, lalu 3, dan seterusnya. Kalau tumpukannya tinggi, kamu pasti tidak mau menghitung satu per satu. Trik Gauss seperti memotong tumpukan jadi dua dan menyandarkannya — pasangan atas-bawah selalu sama tingginya.

Rumus $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$

Trik Gauss berlaku untuk semua deret aritmetika: suku pertama ditambah suku terakhir selalu sama dengan suku kedua ditambah suku kedua-terakhir, dan seterusnya. Maka jumlah total = banyak pasangan $\times$ nilai tiap pasangan.

$S_n = \frac{n}{2}\,(a + U_n) = \frac{n}{2}\,(2a + (n-1)b)$

Arti tiap simbol: $S_n$ = jumlah $n$ suku pertama, $n$ = banyak suku, $a$ = suku pertama, $U_n$ = suku ke- $n$ , $b$ = beda.

Bentuk pertama $\frac{n}{2}(a + U_n)$ paling cepat kalau kamu sudah tahu suku awal dan suku akhir. Bentuk kedua $\frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ berguna kalau hanya $a$ dan $b$ yang diketahui. Geser $a$ dan $b$ lewat preset di bawah, lalu amati bahwa $S_n$ selalu bisa dihitung tanpa menjumlah satu per satu.

Trik Gauss: pasangan senilai

Konon, murid kecil Carl Friedrich Gauss menjumlahkan $1 + 2 + \dots + 100$ dengan memasangkan: $(1 + 100)$ , $(2 + 99)$ , $(3 + 98)$ , dan seterusnya. Tiap pasangan berjumlah $101$ , dan ada $50$ pasangan. Hasilnya $50 \times 101 = 5.050$ . Pada deret di bawah, batang menunjukkan $S_n$ yang tumbuh — perhatikan kenaikannya yang melandai pelan karena beda tetap.

Di TKA dan UTBK, soal deret aritmetika sering berbentuk pola kontekstual — kursi bioskop, bola yang ditumpuk, gaji yang naik tetap — dan meminta jumlah total. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan barisan dan deret pada elemen bilangan. Jebakan paling sering: keliru antara mencari suku ke- $n$ (rumus $U_n$ ) dengan menjumlahkan $n$ suku (rumus $S_n$ ), atau salah hitung banyak pasangan saat $n$ ganjil.

Deret dengan beda berbeda

Besar beda mengubah seberapa cepat $S_n$ membesar. Beda besar membuat deret melengkung curam; beda kecil membuat hampir lurus; beda negatif membuat suku makin mengecil, sehingga $S_n$ naik lalu melandai bahkan bisa turun kalau suku menjadi negatif.

Latihan: jumlah $n$ suku berparameter

Sekarang uji sendiri. Tiap kali kamu menekan tombol soal baru, angkanya berganti secara acak tapi bisa direproduksi. Kerjakan di kertas, lalu ketik jawabanmu.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Seorang pekerja digaji Rp2.000.000 pada bulan pertama, lalu gajinya naik Rp50.000 tiap bulan. Berapa total gaji yang diterima selama 12 bulan pertama? (Pakai satuan ribu rupiah, jadi Rp2.000.000 ditulis 2.000.)

Gaji bulan pertama $a = 2.000$ (ribu rupiah). Kenaikan tetap tiap bulan $b = 50$ . Lama $n = 12$ bulan.

$S_{12} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) = \frac{12}{2}(2 \times 2.000 + 11 \times 50) = 6 \times (4.000 + 550) = 6 \times 4.550$ .

$S_{12} = 6 \times 4.550 = 27.300$ ribu rupiah, jadi Rp27.300.000. Kalau dijumlah satu per satu pasti merepotkan — rumus dan trik Gauss menghemat ratusan langkah.

Jebakan: mencampur rumus suku $U_n = a + (n-1)b$ dengan rumus jumlah $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$ . Yang benar: $U_n$ untuk satu suku, $S_n$ untuk penjumlahan banyak suku — perhatikan kata “suku” vs “jumlah” di soal.

Jebakan: lupa membagi dua pada rumus $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$ . Yang benar: $n$ pasangan dibagi dua karena tiap pasangan terhitung dua kali saat dijumlah dari dua ujung.

Jebakan: mengira trik Gauss gagal saat $n$ ganjil. Yang benar: rumus tetap berlaku — suku tengah tidak berpasangan, tetapi $\frac{n}{2}(a + U_n)$ sudah otomatis menanganinya lewat pembagian pecahan.

Deret aritmetika = penjumlahan suku-suku barisan aritmetika; jumlah $n$ suku = $S_n$ .
Rumus: $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ .
Trik Gauss memasangkan suku awal-akhir yang senilai untuk menjumlah cepat.
$S_n$ tumbuh kuadratik ( $\approx \frac{b}{2}n^2$ ), bukan eksponensial seperti deret geometri.
Bedakan “mencari suku ke- $n$ ” (rumus $U_n$ ) dari “menjumlah $n$ suku” (rumus $S_n$ ).