Menyelesaikan SPL dengan Matriks — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel lewat invers matriks dan aturan Cramer.

Eliminasi dan substitusi memang jitu untuk SPL kecil, tapi bayangkan menyelesaikan sistem lima variabel secara manual — puluhan langkah rawan salah. Matriks menawarkan jalan rapi: tulis sistem sebagai persamaan matriks $AX = B$ , lalu selesaikan dengan satu perkalian invers atau hitung determinan. Metode ini pula yang dipakai komputer untuk menyelesaikan jutaan persamaan sekaligus. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret titik potong pada bangun di bawah dan perhatikan koordinatnya berubah.

Dari SPL ke persamaan matriks

Sistem persamaan linear seperti $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$ bisa ditulis ulang sebagai perkalian matriks. Koefisien membentuk matriks $A$ , variabel vektor $X$ , konstanta vektor $B$ — sehingga $AX = B$ . Bentuk ini menyatukan aljabar matriks yang sudah kamu kuasai dengan penyelesaian SPL.

Bentuk matriks SPL adalah penulisan $AX = B$ , dengan $A$ = matriks koefisien, $X$ = vektor variabel, $B$ = vektor konstanta. Solusi tunggal ada jika $\det A \neq 0$ .

Secara geometris, tiap persamaan linear adalah sebuah garis di bidang. SPL dua variabel = dua garis; solusinya adalah titik potongnya. Bangun di atas memperlihatkan dua pasang sisi sebagai dua garis, dengan titik potong diagonalnya sebagai solusi tunggal.

Metode invers matriks

Dari $AX = B$ , kalikan kedua ruas dengan $A^{-1}$ (invers $A$ ) dari kiri: $A^{-1}AX = A^{-1}B$ , sehingga $X = A^{-1}B$ . Syaratnya: $A$ punya invers, yaitu $\det A \neq 0$ . Bila $\det A = 0$ , sistem tak punya solusi tunggal (tak konsisten atau banyak solusi).

$X = A^{-1}B$

Arti tiap simbol: $X$ = vektor solusi variabel; $A^{-1}$ = invers matriks koefisien (ada bila $\det A \neq 0$ ); $B$ = vektor konstanta. Cara cepat: hitung $\det A$ dulu — bila nol, hentikan (tak ada solusi tunggal).

Plot di bawah memperlihatkan tiga garis yang berpotongan di satu titik (sistem tiga persamaan dua variabel yang konsisten). Geser parameter dan amati satu-satunya titik temu bersama.

Aturan Cramer

Aturan Cramer menyelesaikan SPL tanpa menghitung invers penuh. Untuk variabel $x_i$ , ganti kolom ke- $i$ matriks $A$ dengan vektor $B$ , dapat matriks $A_i$ ; maka $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$ . Tiap variabel butuh satu determinan baru, jadi SPL $n$ variabel = $n+1$ determinan.

$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

Arti tiap simbol: $x_i$ = nilai variabel ke- $i$ ; $\det A_i$ = determinan matriks $A$ dengan kolom $i$ diganti vektor konstanta $B$ ; $\det A$ = determinan matriks koefisien asli. Bila $\det A = 0$ , aturan Cramer tak berlaku.

Determinan: syarat dan makna geometris

Determinan matriks koefisien menentukan nasib SPL. Makna geometrisnya: kolom-kolom $A$ sebagai vektor membentuk jajargenjang, dan $\det A$ = luas (bertanda) jajargenjang itu. Determinan nol berarti kedua vektor segaris (jajargenjang kolaps) — garis-garis SPL sejajar atau berimpit. Bangun di bawah memperlihatkan jajargenjang yang luasnya = determinan; seret titik dan amati kapan luasnya nol.

Soal SPL dengan matriks sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Aljabar, matriks maksimal 3x3). Pola umum: diberi SPL, ditanya nilai satu variabel — aturan Cramer paling cepat karena hanya perlu dua determinan. Bila ditanya seluruh solusi, gunakan invers.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Selesaikan $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$ dengan aturan Cramer.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , jadi $\det A = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5$ . Karena $\det A \neq 0$ , solusi tunggal ada.

$A_x = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 10 & 3 \end{pmatrix}$ , $\det A_x = (5)(3) - (1)(10) = 15 - 10 = 5$ . $A_y = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}$ , $\det A_y = (2)(10) - (5)(1) = 20 - 5 = 15$ .

$x = \frac{\det A_x}{\det A} = \frac{5}{5} = 1$ dan $y = \frac{\det A_y}{\det A} = \frac{15}{5} = 3$ . Jadi solusinya $(x, y) = (1, 3)$ .

Latih kecepatan aturan Cramer dengan SPL berseed di bawah.

Jebakan: langsung menerapkan aturan Cramer tanpa mengecek $\det A$ lebih dulu. Yang benar: hitung $\det A$ dulu — bila nol, sistem tak punya solusi tunggal dan aturan Cramer tak berlaku (pembagian oleh nol).

Jebakan: saat mengganti kolom untuk $\det A_i$ , mengganti baris bukan kolom. Yang benar: aturan Cramer mengganti kolom ke- $i$ matriks $A$ dengan vektor konstanta $B$ — kolom, bukan baris.

Bentuk matriks SPL: $AX = B$ ( $A$ koefisien, $X$ variabel, $B$ konstanta).
Metode invers: $X = A^{-1}B$ , syarat $\det A \neq 0$ .
Aturan Cramer: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$ ; ganti kolom $i$ dengan $B$ .
$\det A = 0$ → tak ada solusi tunggal (sejajar atau berimpit).
Aturan Cramer cepat untuk satu variabel; invers untuk seluruh solusi.