Perkalian Matriks: Baris Bertemu Kolom — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa mengalikan dua matriks dengan aturan baris-kali-kolom dan memeriksa apakah ordonya memenuhi syarat perkalian.

Toko online memetakan pesanan dari tiga pelanggan ke dua produk lewat matriks $A$ , lalu harga tiap produk lewat matriks $B$ . Total tagihan tiap pelanggan ternyata adalah hasil kali dua matriks — bukan perkalian elemen per elemen, melainkan baris bertemu kolom. Geser titik pada mesin di bawah untuk melihat bagaimana satu sel hasil terbentuk dari pasangan baris-kolom, dan coba lihat sendiri di bawah.

Seret titik sudut untuk memilih baris kiri dan kolom kanan yang “bertemu” menjadi satu sel hasil.

Syarat ordo: harus cocok

Tidak seperti penjumlahan, perkalian matriks tidak dilakukan elemen per elemen. Kamu mengalikan baris matriks pertama dengan kolom matriks kedua, sehingga jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Matriks $A$ berordo $m \times p$ dapat dikalikan dengan matriks $B$ berordo $p \times n$ , menghasilkan matriks $AB$ berordo $m \times n$ . Syaratnya: jumlah kolom $A$ = jumlah baris $B$ .

Bila ordonya tidak cocok, perkalian ditolak. Sebagai contoh, matriks $2 \times 3$ tidak bisa dikalikan dengan matriks $2 \times 2$ , sebab kolom $A$ (3) berbeda dari baris $B$ (2). Tetapi matriks $2 \times 3$ dapat dikalikan dengan matriks $3 \times 4$ , menghasilkan matriks $2 \times 4$ .

Aturan baris-kali-kolom

Setiap elemen hasil $(AB)_{ij}$ diperoleh dengan mengalikan elemen baris ke- $i$ dari $A$ dengan elemen kolom ke- $j$ dari $B$ , lalu menjumlahkan. Ini operasi perkalian titik (dot product).

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}$

Arti tiap simbol: $a_{ik}$ = elemen $A$ baris $i$ , kolom $k$ ; $b_{kj}$ = elemen $B$ baris $k$ , kolom $j$ ; $p$ = jumlah kolom $A$ sekaligus jumlah baris $B$ .

Sebagai contoh, untuk $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ , elemen $(AB)_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ . Lanjut elemen $(AB)_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$ , dan seterusnya hingga $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$ .

Sifat perkalian matriks

Perkalian matriks tidak komutatif: pada umumnya $AB \neq BA$ . Bahkan kadang hanya satu arah yang terdefinisi. Tetapi perkalian matriks asosiatif, $(AB)C = A(BC)$ , dan distributif terhadap penjumlahan, $A(B + C) = AB + AC$ . Ada pula matriks identitas $I$ yang berperan sebagai elemen netral: $AI = IA = A$ .

Pikirkan matriks sebagai mesin pengubah input. Matriks $A$ mengubah vektor $v$ menjadi $Av$ , lalu matriks $B$ mengubah hasilnya menjadi $B(Av) = (BA)v$ . Urutan penting karena tiap mesin mengubah secara berbeda — itulah sebabnya $AB \neq BA$ pada umumnya.

Latihan perkalian matriks

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering memberi dua matriks lalu menanyakan satu elemen hasil kali. Trik cepat: kamu tidak perlu menghitung seluruh matriks — cukup ambil baris dan kolom yang sesuai, lalu hitung perkalian titiknya. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan perkalian matriks sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ . Tentukan $AB$ dan $BA$ .

$A$ dan $B$ keduanya berordo $2 \times 2$ , jadi $AB$ dan $BA$ sama-sama terdefinisi dan berordo $2 \times 2$ .

$(AB)_{11} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 = 3$ ; $(AB)_{12} = 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 4 = -2$ ; $(AB)_{21} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 = 6$ ; $(AB)_{22} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 = -8$ . Jadi $AB = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 6 & -8 \end{bmatrix}$ .

$(BA)_{11} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = -1$ ; $(BA)_{12} = 3 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) = 2$ ; $(BA)_{21} = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 8$ ; $(BA)_{22} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$ . Jadi $BA = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 8 & -4 \end{bmatrix} \neq AB$ . Terbukti perkalian matriks tak komutatif.

Tantangan diri: hitung hanya satu elemen hasil tanpa menyusun seluruh matriks.

Jebakan: mengalikan matriks elemen per elemen seperti penjumlahan. Yang benar: perkalian matriks memakai aturan baris-kali-kolom (perkalian titik), bukan perkalian pasangan elemen pada posisi yang sama.

Jebakan: menganggap $AB = BA$ selalu. Yang benar: perkalian matriks tidak komutatif. Kadang hanya satu arah yang terdefinisi, dan bahkan bila keduanya terdefinisi, hasilnya bisa berbeda.

Jebakan: mengabaikan syarat ordo lalu mengalikan matriks yang tidak cocok. Yang benar: jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua. Matriks $2 \times 3$ tidak bisa dikalikan dengan $2 \times 2$ .

Syarat perkalian: kolom $A$ = baris $B$ ; hasil $AB$ berordo baris- $A$ × kolom- $B$ .
Aturan baris-kali-kolom: $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$ (perkalian titik).
Perkalian matriks tak komutatif ( $AB \neq BA$ ), tetapi asosiatif dan distributif.
Matriks identitas $I$ : $AI = IA = A$ .
Hitung satu elemen hasil saja bila yang ditanya satu elemen — tanpa menyusun seluruh matriks.