Sudut Pusat & Sudut Keliling — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjelaskan hubungan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur sama, serta menerapkan sudut Thales pada segitiga berhadapan diameter.

Berdirilah di tepi lapangan bundar dan lihat dua tiang bendera di sisi lain. Sudut yang kamu lihat dari tepi akan berbeda dengan sudut yang dilihat seseorang yang berdiri tepat di pusat lapangan. Ternyata, sudut dari pusat selalu tepat dua kali sudut dari tepi — asalkan keduanya menghadap sepasang tiang yang sama. Coba buktikan sendiri di bawah.

Coba seret titik pada bangun di bawah dan perhatikan sudut pusat berubah saat kedua titik keliling digeser.

Sudut pusat: sudut yang kakinya berupa jari-jari

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran, sedangkan kedua kakinya adalah jari-jari yang menuju dua titik pada keliling. Sudut pusat ini “menghadap” sebuah busur di antara kedua kakinya.

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya di pusat lingkaran dan kedua kakinya berupa jari-jari. Besarnya sama dengan besar busur yang dihadapinya (dalam derajat).

Bangun di atas memperlihatkan sudut pusat sebagai sudut apit pada segitiga sama kaki. Seret kedua titik keliling — sudut di pusat berubah, dan keduanya selalu menghadap busur yang sama. Inilah dasar dari semua hubungan sudut dalam lingkaran.

Sudut keliling: sudut yang titik sudutnya di tepi

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada keliling lingkaran, sedangkan kedua kakinya merupakan tali busur yang menuju dua titik lain pada keliling. Sudut keliling juga “menghadap” sebuah busur — busur yang berada di depan titik sudutnya.

Bedakan dengan jeli: sudut pusat kakinya jari-jari (kaki lurus ke pusat), sudut keliling kakinya tali busur (kaki tetap di keliling). Keduanya bisa menghadap busur yang sama, tetapi berbeda titik sudut.

Bangun di bawah memperlihatkan sudut keliling sebagai sudut pada titik puncak segitiga yang ketiga titiknya berada pada keliling. Seret titik puncaknya menyusuri keliling dan perhatikan sudut kelilingnya.

Hubungan utama: pusat = 2 × keliling

Inilah teorema kunci. Bila sebuah sudut pusat dan sebuah sudut keliling menghadap busur yang sama, maka sudut pusat selalu dua kali sudut keliling. Sebaliknya, sudut keliling selalu setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

$\alpha_{\text{pusat}} = 2 \cdot \alpha_{\text{keliling}}$

Arti tiap simbol: $\alpha_{\text{pusat}}$ = sudut pusat yang menghadap busur tertentu, $\alpha_{\text{keliling}}$ = sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Buktikan sendiri dengan bangun di bawah — dua segitiga berbagi pasangan titik A dan B pada keliling. Yang pertama (warna aksen) memiliki titik sudut di pusat; yang kedua (warna netral) memiliki titik sudut di keliling. Seret A dan B, lalu bandingkan kedua sudutnya: sudut pusat selalu tepat dua kali sudut keliling.

Sudut Thales: berhadapan diameter = 90°

Ada satu kasus istimewa yang sangat penting. Kalau busur yang dihadapi adalah setengah lingkaran (diameter), maka sudut pusatnya 180°. Karena sudut keliling setengah dari sudut pusat, sudut keliling yang menghadap diameter adalah 90° — sebuah sudut siku-siku. Inilah teorema Thales.

Teorema Thales: setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu berukuran 90° (siku-siku).

Bangun di bawah memperlihatkan segitiga siku-siku yang sisi miringnya adalah diameter. Seret titik puncaknya menyusuri setengah lingkaran — sudut di puncak selalu 90°, tak peduli di mana ia berdiri.

Busur sama, sudut keliling sama besar

Konsekuensi menarik dari teorema utama: semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama pasti sama besar. Sebab masing-masing setengah dari sudut pusat yang sama. Jadi, di mana pun kamu meletakkan titik sudut keliling (selama menghadap busur yang sama), sudutnya tidak berubah.

Di TKA dan UTBK, soal sering memberi sudut pusat lalu menanyakan sudut keliling, atau sebaliknya. Triknya: pastikan keduanya menghadap busur yang sama, lalu pakai $\alpha_{\text{pusat}} = 2 \cdot \alpha_{\text{keliling}}$ . Kasus khusus diameter langsung memberi 90° tanpa hitungan. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan geometri lingkaran sebagai cakupan resmi.

Bangun di bawah memperlihatkan dua segitiga keliling yang menghadap pasangan titik A dan B yang sama. Seret titik puncak kedua segitiga ke mana pun — selama keduanya menghadap busur AB yang sama, sudut kelilingnya selalu sama besar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah lingkaran memiliki sudut pusat yang menghadap busur AB sebesar $110^\circ$ . Tentukan besar sudut keliling yang menghadap busur AB yang sama.

Sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, sehingga berlaku $\alpha_{\text{pusat}} = 2 \cdot \alpha_{\text{keliling}}$ .

$110^\circ = 2 \cdot \alpha_{\text{keliling}}$ , maka $\alpha_{\text{keliling}} = 110^\circ / 2 = 55^\circ$ . Jadi sudut keliling yang menghadap busur AB adalah $55^\circ$ .

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — angkanya berubah setiap kali, tapi pola hubungannya tetap sama.

Jebakan: mengira sudut pusat sama besar dengan sudut keliling yang menghadap busur sama. Yang benar: sudut pusat dua kali sudut keliling; sudut keliling setengah dari sudut pusat.

Jebakan: menempatkan titik sudut keliling di busur yang berbeda lalu menyamakannya. Yang benar: sudut keliling yang menghadap busur mayor (besar) dan busur minor (kecil) berbeda — keduanya saling berpelurus (jumlah $180^\circ$ ). Samakan hanya bila benar-benar menghadap busur yang sama.

Sudut pusat titik sudutnya di pusat, kakinya jari-jari.
Sudut keliling titik sudutnya di keliling, kakinya tali busur.
Sudut pusat $= 2 \times$ sudut keliling yang menghadap busur sama.
Sudut keliling menghadap diameter selalu $90^\circ$ (teorema Thales).
Semua sudut keliling yang menghadap busur sama itu sama besar.