Garis Singgung Lingkaran — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjelaskan sifat garis singgung tegak lurus jari-jari dan menghitung panjang singgung dari titik luar lewat teorema Pythagoras.

Pernah memikirkan kenapa tali yang melingkari tiang bisa menahan kapal besar? Kunci ada pada titik sentuh: tali menyentuh tiang tepat di satu titik, dan arah tarikan tegak lurus dengan jari-jari tiang. Sifat inilah yang membuat gesekan tali pada tongkat jadi sangat kuat. Coba geser titik pada bangun di bawah dan lihat sendiri.

Coba seret titik keliling pada bangun di bawah dan perhatikan sudut antara jari-jari dan tali busur.

Garis singgung: bertemu lingkaran di satu titik

Garis singgung adalah garis lurus yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik, tanpa memotongnya. Titik pertemuan itu disebut titik singgung. Berbeda dengan tali busur yang memotong lingkaran di dua titik, garis singgung “menyentuh lalu pergi” — hanya bersinggungan sebentar.

Garis singgung adalah garis lurus yang menyentuh lingkaran di tepat satu titik (titik singgung). Pada titik itu, garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari yang menuju titik singgung.

Bangun di atas memperlihatkan segitiga siku-siku yang menggambarkan inti hubungan ini: jari-jari dari pusat $P$ ke titik singgung $A$ adalah satu kaki, dan garis singgung $AB$ adalah kaki yang lain, saling tegak lurus di $A$ . Seret titik $B$ — sudut siku di $A$ tak pernah berubah.

Sifat inti: jari-jari ⊥ garis singgung

Inilah teorema kunci. Pada titik singgung, jari-jari lingkaran selalu tegak lurus terhadap garis singgung. Konsekuensinya: jari-jari, garis singgung, dan ruas dari pusat ke titik luar membentuk segitiga siku-siku. Inilah pintu masuk teorema Pythagoras ke soal garis singgung.

$PA^2 + AB^2 = PB^2$

Arti tiap simbol: $PA$ = jari-jari (kaki tegak), $AB$ = panjang garis singgung (kaki mendatar), $PB$ = jarak pusat ke titik luar (sisi miring).

Bangun di bawah memperlihatkan segitiga siku-siku dengan sudut siku di titik singgung $A$ . Seret titik $B$ (titik luar) menjauh atau mendekat — panjang sisi miring $PB$ berubah, tetapi sudut siku di $A$ tetap $90^\circ$ , sehingga teorema Pythagoras selalu berlaku.

Menghitung panjang singgung dari titik luar

Dari sebuah titik di luar lingkaran, kamu dapat menarik tepat dua garis singgung. Untuk menghitung panjang salah satunya, bentuk segitiga siku-siku: kaki tegak = jari-jari $r$ , sisi miring = jarak pusat ke titik luar $d$ , dan kaki mendatar = panjang singgung $t$ yang dicari.

$t = \sqrt{d^2 - r^2}$

Arti tiap simbol: $t$ = panjang garis singgung, $d$ = jarak pusat ke titik luar, $r$ = jari-jari lingkaran.

Bangun di bawah membiarkanmu merasakan rumus ini langsung. Geser titik luar $B$ menjauh dari pusat — makin jauh titik luar, makin panjang singgung yang bisa ditarik. Sudut siku di $A$ selalu menjaga Pythagoras tetap berlaku.

Dua garis singgung dari titik luar sama panjang

Dari sebuah titik luar, kedua garis singgung yang dapat ditarik ke lingkaran selalu sama panjang. Alasannya simetri: kedua segitiga siku-siku (satu untuk tiap titik singgung) berbagi sisi miring yang sama dan jari-jari yang sama, sehingga kaki singgungnya pun sama.

Bangun di bawah menggambarkan kedua segitiga siku-siku sebagai satu segitiga sama kaki yang dua kakinya adalah dua garis singgung. Seret titik luar $B$ menjauh atau mendekat pusat — kedua sisi singgung selalu tetap sama panjang.

Di TKA dan UTBK, soal garis singgung klasik: diberi jari-jari dan jarak pusat ke titik luar, ditanya panjang singgung. Triknya: bentuk segitiga siku-siku (jari-jari, panjang singgung, jarak pusat-titik luar) lalu pakai Pythagoras. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan geometri lingkaran sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah lingkaran berjari-jari $5$ cm. Sebuah titik $B$ berjarak $13$ cm dari pusat lingkaran. Berapa panjang garis singgung yang dapat ditarik dari $B$ ke lingkaran?

Jari-jari $PA = 5$ , jarak pusat-titik luar $PB = 13$ , dan panjang singgung $AB$ saling tegak lurus di titik singgung. Segitiga $PAB$ siku-siku di $A$ , dengan $PB$ sebagai sisi miring.

$PA^2 + AB^2 = PB^2$ , jadi $5^2 + AB^2 = 13^2$ , berarti $25 + AB^2 = 169$ , sehingga $AB^2 = 144$ .

$AB = \sqrt{144} = 12$ . Jadi panjang garis singgung dari titik $B$ adalah $12$ cm.

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — angkanya berubah setiap kali, tapi pola Pythagoras-nya tetap sama.

Jebakan: menghitung panjang singgung sebagai $d - r$ (jarak dikurangi jari-jari). Yang benar: pakai teorema Pythagoras, $t = \sqrt{d^2 - r^2}$ . Pengurangan linear hanya cocok untuk garis bilangan, bukan segitiga siku-siku.

Jebakan: menganggap garis singgung memotong lingkaran di dua titik. Yang benar: garis singgung menyentuh lingkaran tepat di satu titik (titik singgung). Garis yang memotong dua titik adalah tali busur, bukan singgung.

Garis singgung menyentuh lingkaran di tepat satu titik (titik singgung).
Pada titik singgung, jari-jari tegak lurus garis singgung ( $90^\circ$ ).
Panjang singgung dari titik luar: $t = \sqrt{d^2 - r^2}$ (Pythagoras).
Dua garis singgung dari satu titik luar selalu sama panjang.
Jangan pakai $d - r$ ; selalu pakai Pythagoras pada segitiga siku-siku.