Panjang Busur & Luas Juring — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung panjang busur dan luas juring dari sudut pusat dengan proporsi sudut terhadap satu putaran penuh.

Saat memotong pizza menjadi delapan irisan sama besar, tiap irisan “menjumbai” sepotong tepi yang panjangnya sama, dan luasnya pun sama. Bagaimana kalau satu irisan lebih besar dari lainnya? Ternyata panjang tepi dan luas irisan berubah proporsional terhadap sudut pusatnya. Coba potong sendiri di bawah dan lihat proporsinya.

Coba seret kedua titik keliling pada bangun di bawah dan perhatikan sudut pusat juringnya berubah.

Juring sebagai pecahan lingkaran

Sebuah juring adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi dua jari-jari dan sebuah busur. Besar juring sepenuhnya ditentukan oleh sudut pusat — sudut apit kedua jari-jari di pusat. Satu putaran penuh berisi $360^\circ$ , jadi sebuah juring bersudut $\theta$ mengambil pecahan $\dfrac{\theta}{360}$ dari keseluruhan lingkaran.

Juring adalah daerah lingkaran yang dibatasi dua jari-jari dan busur di antara keduanya. Besarnya sebanding dengan sudut pusat juring tersebut.

Prinsip kuncinya sederhana: karena lingkaran penuh bersudut $360^\circ$ , sebuah juring bersudut $\theta$ adalah pecahan $\theta/360$ dari lingkaran utuh. Prinsip pecahan inilah yang membuka jalan ke semua rumus busur dan juring.

Luas juring: pecahan luas lingkaran

Luas lingkaran utuh berjari-jari $r$ adalah $L = \pi r^2$ . Karena juring bersudut $\theta$ mengambil pecahan $\theta/360$ dari lingkaran, maka luas juringnya juga pecahan $\theta/360$ dari luas total.

$L_{\text{juring}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2$

Arti tiap simbol: $\theta$ = sudut pusat juring (derajat), $r$ = jari-jari lingkaran.

Bangun di bawah memperlihatkan bagaimana luas juring berubah saat sudut pusat digeser. Seret kedua titik keliling — luas segitiga (yang menjadi hampiran juring) naik-turun mengikuti besar sudut apit di pusat.

Panjang busur: pecahan keliling

Dengan logika yang sama, keliling lingkaran utuh adalah $K = 2\pi r$ . Busur yang menghadap sudut pusat $\theta$ adalah pecahan $\theta/360$ dari keliling, sehingga panjang busurnya pun pecahan $\theta/360$ dari keliling.

$s = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r$

Arti tiap simbol: $s$ = panjang busur, $\theta$ = sudut pusat (derajat), $r$ = jari-jari.

Kasus istimewa: kuadran, setengah, tiga-perempat

Beberapa pecahan lingkaran muncul sering sehingga patut diingat. Sudut $90^\circ$ memberi seperempat lingkaran (satu kuadran): busurnya $\tfrac{1}{4} \cdot 2\pi r = \tfrac{\pi r}{2}$ dan luas juringnya $\tfrac{\pi r^2}{4}$ . Sudut $180^\circ$ memberi setengah lingkaran: busur $\pi r$ dan luas $\tfrac{\pi r^2}{2}$ .

Sudut pusat	Pecahan	Panjang busur	Luas juring
$90^\circ$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{\pi r}{2}$	$\tfrac{\pi r^2}{4}$
$180^\circ$	$\tfrac{1}{2}$	$\pi r$	$\tfrac{\pi r^2}{2}$
$270^\circ$	$\tfrac{3}{4}$	$\tfrac{3\pi r}{2}$	$\tfrac{3\pi r^2}{4}$

Bangun di bawah memperlihatkan tiga kasus istimewa sebagai preset. Pilih satu preset dan amati sudut pusat serta luas segitiga yang merepresentasikan juring — masing-masing persis seperempat, setengah, dan tiga-perempat dari lingkaran utuh.

Perbandingan dua juring pada lingkaran sama

Dua juring pada lingkaran yang sama bersudut $\theta_1$ dan $\theta_2$ memiliki perbandingan luas maupun perbandingan busur yang sama dengan perbandingan sudutnya: $\dfrac{s_1}{s_2} = \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{\theta_1}{\theta_2}$ . Inilah inti dari pemikiran proporsional.

Bangun di bawah menampilkan dua juring pada lingkaran yang sama. Seret kedua pasang titik keliling dan bandingkan sudut pusat kedua juring — perbandingan luas kedua segitiga selalu mengikuti perbandingan sudutnya.

Soal TKA dan UTBK sering memberi jari-jari dan sudut pusat, lalu menanyakan panjang busur atau luas juring. Jebakan paling sering: lupa membagi sudut dengan $360^\circ$ sehingga menghitung seperti luas segitiga biasa. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan geometri lingkaran sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah lingkaran berjari-jari $14$ cm memiliki juring bersudut pusat $90^\circ$ . Tentukan luas juring dan panjang busurnya (pakai $\pi = \tfrac{22}{7}$ ).

Sudut pusat $90^\circ$ dari $360^\circ$ memberi pecahan $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$ .

Luas lingkaran penuh $= \pi r^2 = \tfrac{22}{7} \cdot 14^2 = 616 \text{ cm}^2$ . Luas juring $= \tfrac{1}{4} \cdot 616 = 154 \text{ cm}^2$ .

Keliling $= 2\pi r = 2 \cdot \tfrac{22}{7} \cdot 14 = 88 \text{ cm}$ . Panjang busur $= \tfrac{1}{4} \cdot 88 = 22 \text{ cm}$ .

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — angkanya berubah setiap kali, tapi pola proporsinya tetap sama.

Jebakan: menghitung luas juring tanpa membagi sudut dengan $360^\circ$ . Yang benar: selalu pakai pecahan $\theta/360$ — juring bersudut $\theta$ adalah pecahan $\theta/360$ dari lingkaran utuh, bukan langsung $\theta \cdot \pi r^2$ .

Jebakan: mengira busur bergantung pada luas lingkaran. Yang benar: busur adalah pecahan keliling ( $2\pi r$ ), bukan luas ( $\pi r^2$ ). Campur adukkan keduanya dan kamu dapat satuan yang salah.

Juring bersudut $\theta$ mengambil pecahan $\theta/360$ dari lingkaran utuh.
Luas juring $= \dfrac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ .
Panjang busur $= \dfrac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ .
Pada lingkaran sama, perbandingan luas juring = perbandingan sudut pusat.
Busur adalah pecahan keliling; jangan tertukar dengan luas lingkaran.