Titik Puncak & Sumbu Simetri

Setelah ini kamu bisa menentukan titik puncak parabola dengan rumus $x = -\frac{b}{2a}$ dan menjelaskan sumbu simetri sebagai cermin lipat yang menyamakan kedua sisi parabola.

Lipatlah sebuah foto profil tepat di tengah, dan sisi kiri menempel sempurna pada sisi kanan. Itulah simetri — dan parabola punya simetri seperti itu, dengan satu garis lipat tegak yang membelah dua kurva menjadi bayangan satu sama lain. Garis itu lewat persis di puncak. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $b$ , lalu perhatikan titik puncak dan garis sumbu simetri bergerak menyusun sebuah tarian yang rapi.

Puncak berada di $x = -\frac{b}{2a}$

Setiap parabola punya satu titik yang paling istimewa: titik puncak. Kalau $a > 0$ , puncak ini adalah titik terendah (parabola terbuka ke atas). Kalau $a < 0$ , puncak ini adalah titik tertinggi (parabola terjungkal ke bawah). Posisi mendatar puncak selalu bisa dihitung dengan satu rumus kecil.

Titik puncak parabola $y = ax^2 + bx + c$ adalah titik ekstrem (minimum bila $a > 0$ , maksimum bila $a < 0$ ). Absisnya $x_p = -\frac{b}{2a}$ , dan ordinatnya diperoleh dengan substitusi balik: $y_p = c - \frac{b^2}{4a}$ .

Rumus $x = -\frac{b}{2a}$ ini bukan sihir — ia juga muncul dari bentuk kuadrat sempurna $a(x - p)^2 + q$ yang sudah kamu pelajari. Di bentuk itu, puncak berada di $x = p$ , dan ternyata $p = -\frac{b}{2a}$ . Jadi melengkapkan kuadrat dan rumus puncak adalah dua wajah dari kebenaran yang sama.

$x_{\text{puncak}} = -\frac{b}{2a}, \qquad y_{\text{puncak}} = c - \frac{b^2}{4a}$

Arti tiap simbol: $a$ , $b$ , $c$ = koefisien persamaan $y = ax^2 + bx + c$ dengan $a \neq 0$ . Puncak $= (x_{\text{puncak}}, y_{\text{puncak}})$ .

Sumbu simetri: cermin lipat

Parabola punya satu sifat indah: ia simetris. Bayangkan sebuah garis vertikal yang lewat tepat di puncak — kalau kamu melipat kertas sepanjang garis itu, sisi kiri parabola akan menempel sempurna pada sisi kanannya. Garis itulah sumbu simetri, dan persamaannya $x = -\frac{b}{2a}$ , sama persis dengan absis puncak.

Konsekuensinya praktis: untuk setiap titik di parabola pada $x = x_0$ , ada titik kembaran di $x = 2x_p - x_0$ yang memiliki nilai $y$ sama. Dua akar persamaan kuadrat pun selalu berjarak sama dari sumbu simetri — itulah mengapa jumlah kedua akar selalu $-b/a$ , dan titik tengahnya selalu $-b/2a$ .

Pikirkan sumbu simetri sebagai garis lipat kertas. Titik mana pun di kiri garis punya “kembaran” di kanan, dengan ketinggian yang sama. Puncak adalah satu-satunya titik yang tidak punya kembaran berbeda — ia berdiri sendiri di garis lipat itu.

Maksimum atau minimum? Lihat tanda $a$

Puncak adalah titik minimum kalau $a > 0$ (parabola terbuka ke atas, mangkuk menadah). Sebaliknya, puncak adalah titik maksimum kalau $a < 0$ (parabola terjungkal ke bawah, mangkuk terbalik). Nilai $y_{\text{puncak}}$ inilah nilai ekstrem fungsi kuadrat — kebanyakan soal optimasi berhenti di sini.

Di TKA dan UTBK, soal titik puncak sangat sering muncul dalam dua wujud: “tentukan koordinat puncak” dan “tentukan nilai maksimum/minimum”. Trik cepat: hitung $x_p = -\frac{b}{2a}$ untuk absis, lalu substitusi balik ke persamaan untuk $y_p$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan titik puncak dan sumbu simetri sebagai cakupan resmi pada Fase E.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan koordinat titik puncak dan sumbu simetri dari parabola $y = 2x^2 - 8x + 5$ .

Bandingkan dengan $y = ax^2 + bx + c$ . Diperoleh $a = 2$ , $b = -8$ , $c = 5$ . Karena $a > 0$ , puncaknya adalah titik minimum.

Substitusi ke $x_p = -\frac{b}{2a}$ : $x_p = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = -\frac{-8}{4} = 2$ . Jadi sumbu simetrinya adalah garis $x = 2$ .

Masukkan $x = 2$ ke persamaan: $y_p = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$ . Jadi titik puncaknya $(2, -3)$ dan nilai minimumnya $-3$ .

Sekarang berlatihlah dengan angka acak. Soal di bawah memberi koefisien $a$ dan $b$ berbeda tiap kali kamu menekan “Soal baru”. Tugasmu menghitung absis puncak $x_p = -\frac{b}{2a}$ — kebiasaan satu langkah yang membuka banyak soal.

Jebakan: lupa tanda negatif pada rumus $x_p = -\frac{b}{2a}$ , sehingga puncaknya tergeser cermin. Yang benar: rumus selalu diawali tanda negatif; kalau $b = -8$ dan $a = 2$ , maka $x_p = -\tfrac{-8}{4} = +2$ .

Jebakan: menyimpulkan “puncak = maksimum” begitu saja tanpa cek tanda $a$ . Yang benar: puncak adalah maksimum bila $a < 0$ dan minimum bila $a > 0$ ; tanda $a$ satu-satunya penentu.

Absis puncak parabola: $x_p = -\frac{b}{2a}$ ; ordinatnya dari substitusi balik.
Sumbu simetri: garis vertikal $x = -\frac{b}{2a}$ , lewat tepat di puncak.
Dua titik cermin di parabola punya nilai $y$ sama dan berjarak sama dari sumbu simetri.
$a > 0$ → puncak minimum; $a < 0$ → puncak maksimum.
Rumus ini berakar pada bentuk kuadrat sempurna $a(x - p)^2 + q$ .

Puncak berada di x=−b2ax = -\frac{b}{2a}x=−2ab​

Sumbu simetri: cermin lipat

Maksimum atau minimum? Lihat tanda aaa

Puncak berada di $x = -\frac{b}{2a}$

Maksimum atau minimum? Lihat tanda $a$