Operasi Bilangan Kompleks — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan mengonjugatkan bilangan kompleks $a + bi$ , serta menjelaskan arti geometrisnya di bidang Argand.

Bayangkan dua bilangan kompleks sebagai dua panah yang berawal dari pusat. Ketika kamu menjumlahkannya, panah hasilnya bukan dihasilkan dengan menumpuk ujung ke pangkal secara acak — melainkan membentuk sisi miring sebuah jajargenjang yang rapi. Dan ketika kamu mengalikan dengan $i$ , sesuatu yang mengejutkan terjadi: panah itu berputar tepat $90^\circ$ . Operasi aljabar dan geometri ternyata berbicara bahasa yang sama. Seret dua titik di bawah, dan saksikan jajargenjang itu hidup.

Coba seret ujung kedua vektor, lalu perhatikan resultan penjumlahannya membentuk diagonal jajargenjang.

Penjumlahan dan pengurangan: komponen per komponen

Operasi paling sederhana pada bilangan kompleks adalah penjumlahan, dan aturannya sangat wajar: bagian real dijumlah dengan bagian real, bagian imajiner dijumlah dengan bagian imajiner.

$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

Arti tiap simbol: $a, c$ bagian real; $b, d$ bagian imajiner; hasil jumlah punya bagian real $a+c$ dan bagian imajiner $b+d$ .

Pengurangan bekerja serupa, tinggal mengubah tanda: $(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$ . Geometrisnya, penjumlahan menggabungkan dua panah menjadi satu resultan — itulah diagonal jajargenjang yang kamu lihat di widget utama. Seret kedua titik pada bidang di bawah, dan amati bagaimana resultan berubah saat komponen $a$ , $b$ , $c$ , $d$ berubah.

Perkalian: perluas seperti suku dua

Perkalian dua bilangan kompleks dikerjakan dengan distribusi, persis seperti mengalikan dua suku dua. Sebab $i^2 = -1$ , suku $i \times i$ berubah menjadi $-1$ .

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Arti tiap simbol: $ac$ dari real×real; $-bd$ dari $i \times i = -1$ ; $ad$ dan $bc$ dari silang real×imajiner.

Contoh: $(2 + 3i)(1 + 4i) = 2\cdot1 + 2\cdot4i + 3i\cdot1 + 3i\cdot4i = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i$ . Triknya: kumpulkan suku real dan suku imajiner terpisah, lalu ganti $i^2$ dengan $-1$ di akhir.

Konjugat: bayangan cermin

Setiap bilangan kompleks $z = a + bi$ punya pasangan bernama konjugat, dilambangkan $\overline{z}$ , yang diperoleh dengan mengubah tanda bagian imajiner.

Konjugat dari $z = a + bi$ adalah $\overline{z} = a - bi$ . Di bidang Argand, konjugat adalah bayangan cermin $z$ terhadap sumbu real.

Konjugat berguna untuk menyederhanakan pecahan kompleks dan menghitung modulus. Perhatikan bahwa $z \cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ — selalu bilangan real positif. Inilah mengapa $|z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{a^2+b^2}$ . Geser titik di bawah dan amati bayangan konjugatnya tercermin otomatis melintasi sumbu real.

Mengalikan dengan i: rotasi 90 derajat

Inilah sifat paling indah dari bilangan kompleks. Kalikan sembarang $z = a + bi$ dengan $i$ :

$i \cdot (a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai$

Hasilnya $-b + ai$ — bagian real dan imajiner bertukar tempat dengan sedikit perubahan tanda. Secara geometris, panah yang tadinya menunjuk ke $(a, b)$ sekarang menunjuk ke $(-b, a)$ : tepat berputar $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam. Jadi mengalikan dengan $i$ sama dengan memutar $90^\circ$ . Mengalikan dengan $i^2 = -1$ berarti memutar $180^\circ$ (membalik arah).

Meskipun bilangan kompleks belum masuk kisi resmi TKA Matematika Tingkat Lanjut (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025), operasinya muncul kembali saat membahas akar kompleks polinomial dan getaran periodik (fasor). Trik yang berguna: untuk pembagian $\frac{a+bi}{c+di}$ , kalikan pembilang dan penyebut dengan $\overline{c+di} = c - di$ agar penyebut menjadi $c^2 + d^2$ (bilangan real).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Hitung $(2 + 3i) + (4 - i)$ dan $(2 + 3i)(4 - i)$ , lalu tentukan konjugat hasil kali keduanya.

Bagian real: $2 + 4 = 6$ . Bagian imajiner: $3 + (-1) = 2$ . Maka $(2+3i) + (4-i) = 6 + 2i$ .

$(2+3i)(4-i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i - 3(-1) = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$ .

Konjugat dari $11 + 10i$ adalah $11 - 10i$ — cukup balikkan tanda bagian imajiner.

Latih kecepatan operasi dengan angka acak di bawah — kerjakan di kertas, lalu tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: saat mengalikan $(a+bi)(c+di)$ , melupakan bahwa $i \times i = -1$ sehingga menulis suku $bd$ sebagai positif. Yang benar: $i^2 = -1$ , jadi suku silang $bd \cdot i^2$ menjadi $-bd$ — bagian real hasil kali adalah $ac - bd$ , bukan $ac + bd$ .

Jebakan: mengira konjugat dari $a + bi$ adalah $-a + bi$ (membalik bagian real). Yang benar: konjugat membalik tanda bagian imajiner saja, yaitu $a - bi$ . Konjugat adalah bayangan cermin terhadap sumbu real, bukan terhadap sumbu imajiner.

Jebakan: menyamakan perkalian dengan $i$ dengan perkalian dengan $-1$ . Yang benar: mengalikan dengan $i$ memutar $90^\circ$ (perempat putaran), sedangkan mengalikan dengan $-1 = i^2$ memutar $180^\circ$ (setengah putaran). Keduanya berbeda jauh.

Penjumlahan/pengurangan kompleks dilakukan komponen per komponen: $(a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)i$ .
Perkalian: $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$ ; ingat $i^2 = -1$ .
Konjugat $\overline{a+bi} = a - bi$ adalah bayangan cermin terhadap sumbu real.
$z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$ selalu real positif; akarnya adalah $|z|^2$ .
Mengalikan dengan $i$ berarti memutar $90^\circ$ berlawanan jarum jam.