Bidang Argand: Modulus & Argumen — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa merepresentasikan bilangan kompleks $z = a + bi$ secara geometris di bidang Argand dengan modulus $|z|$ sebagai jarak ke pusat dan argumen sebagai sudut dari sumbu real positif.

Sebuah bilangan kompleks $z = 3 + 4i$ kelihatan seperti dua angka terpisah, tapi sebenarnya ia adalah satu titik di sebuah bidang — sebuah denah dua dimensi tempat sumbu mendatar menyimpan bagian real dan sumbu tegak menyimpan bagian imajiner. Dan seperti titik apa pun di denah, ia punya dua cara dijelaskan: lewat koordinat (3, 4), atau lewat jarak dan arah dari pusat. Coba seret titik z di bawah, dan lihat kedua cara itu bercerita tentang titik yang sama.

Seret titik z (titik C) di bidang Argand, lalu perhatikan bagaimana modulus dan argumennya berubah mengikuti posisi.

Dua sumbu bidang Argand

Sebuah bilangan kompleks $z = a + bi$ punya dua komponen: bagian real $a$ dan bagian imajiner $b$ . Bidang Argand adalah denah dua dimensi yang menempatkan $a$ pada sumbu mendatar (sumbu real) dan $b$ pada sumbu tegak (sumbu imajiner). Dengan begitu, setiap bilangan kompleks adalah satu titik $(a, b)$ di bidang itu — persis seperti koordinat Kartesius, hanya labelnya yang berubah.

Bidang Argand adalah bidang koordinat yang sumbu mendatarnya menyimpan bagian real dan sumbu tegaknya menyimpan bagian imajiner. Bilangan kompleks $z = a + bi$ direpresentasikan sebagai titik $(a, b)$ atau sebagai vektor dari pusat $O$ ke titik itu.

Pada bangun di atas, titik $z$ adalah titik sudut ketiga dari segitiga siku-siku. Sisi mendatar (dari $O$ ke $P$ ) menyimpan panjang $a$ — bagian real; sisi tegak (dari $P$ ke $z$ ) menyimpan panjang $b$ — bagian imajiner. Dua angka aljabar $a + bi$ berubah menjadi sebuah titik yang bisa kamu lihat dan seret.

Modulus: jarak ke pusat

Karena $z = a + bi$ adalah sebuah titik $(a, b)$ , ia punya jarak ke pusat $O$ . Jarak ini disebut modulus $|z|$ , dan dihitung dengan Teorema Pythagoras dari segitiga siku-siku yang dibentuk komponen $a$ dan $b$ .

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Arti tiap simbol: $a$ = bagian real (sisi mendatar), $b$ = bagian imajiner (sisi tegak), $|z|$ = modulus = jarak titik $z$ ke pusat $O$ (sisi miring segitiga).

Pada bangun di bawah, sisi miring dari $O$ ke $z$ justru modulusnya. Seret titik $z$ : saat kamu menjauhkannya dari pusat, modulus membesar; saat mendekat, ia mengecil. Modulus selalu tak negatif — ia adalah panjang, bukan bertanda.

Argumen: sudut dari sumbu real positif

Selain jarak, titik $z$ juga punya arah — sudut yang dibentuk vektor $\overrightarrow{Oz}$ dengan sumbu real positif, diukur berlawanan jarum jam. Sudut ini disebut argumen $\arg(z)$ . Dengan modulus dan argumen, $z$ bisa ditulis dalam bentuk kutub: $z = |z| \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)$ , di mana $\theta = \arg(z)$ .

$\tan(\arg z) = \frac{b}{a}, \quad z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$

Arti tiap simbol: $\theta = \arg(z)$ = sudut dari sumbu real positif ke vektor $\overrightarrow{Oz}$ (berlawanan jarum jam); $b/a$ = kebalikan dari rasio trigonometri tangen; bentuk kutub menulis $z$ lewat $|z|$ dan $\theta$ alih-alih $a$ dan $b$ .

Pada bangun di bawah, sudut acuan (di titik $O$ ) justru argumennya. Seret titik $z$ mengitari pusat: sudutnya berubah mengikuti arah. Saat $z$ berada di sumbu real positif, argumen $0^\circ$ ; di sumbu imajiner positif, $90^\circ$ ; di sumbu real negatif, $180^\circ$ .

Dua cara menjelaskan titik $z$ = dua cara menulis bilangan kompleks yang sama. Bentuk Kartesius $a + bi$ menjawab “berapa ke kanan, berapa ke atas?”. Bentuk kutub $|z|(\cos \theta + i\sin\theta)$ menjawab “seberapa jauh, ke arah mana?”. Keduanya hanya dua koordinat berbeda untuk satu titik yang sama.

Bentuk kutub: tantangan tempatkan z

Sekarang balik permainan: diberikan modulus dan argumen, dapatkah kamu memperkirakan di mana $z$ berada? Tantangan seperti $|z| = 2, \arg(z) = 120^\circ$ berarti z berjarak 2 dari pusat dan membentuk sudut $120^\circ$ dari sumbu real positif. Pada bangun di bawah, tiap preset adalah titik $z$ dalam bentuk kutub — bandingkan posisinya dengan modulus dan argumen yang tertulis pada label preset.

Walaupun bilangan kompleks tidak masuk kisi pilot TKA/UTBK saat ini, modulus dan argumen adalah pondasi untuk deret Fourier, fasor listrik, dan sinyal — topik yang sering muncul di mata kuliah teknik. Triknya: gambar $z$ sebagai segitiga siku-siku, lalu modulus = sisi miring dan argumen = sudut di pusat. CP Fase F Matematika (Kep. BSKAP 046/H/KR/2025 jo. 020/2026) memasukkan bilangan kompleks pada elemen Bilangan.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $z = -2 + 2i$ . Tentukan modulus $|z|$ , argumen $\arg(z)$ , lalu tuliskan $z$ dalam bentuk kutub.

Bagian real $a = -2$ (ke kiri), bagian imajiner $b = 2$ (ke atas). Titik $z$ berada di kuadran II. Sisi mendatar panjang $|a| = 2$ , sisi tegak panjang $b = 2$ — segitiga siku-siku sama kaki.

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ .

Sudut acuan terhadap sumbu real negatif: $\tan \alpha = 2/2 = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$ . Karena di kuadran II, $\arg(z) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ . Maka $z = 2\sqrt{2}(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ)$ .

Latih kecepatan menghitung modulus dari $z = a + bi$ dengan angka acak di bawah.

Jebakan: mengira argumen sama dengan $\tan^{-1}(b/a)$ mentah-mentahan tanpa memeriksa kuadran. Yang benar: hitung sudut acuan $\alpha = \tan^{-1}(|b/a|)$ , lalu sesuaikan dengan kuadran — kuadran II: $180^\circ - \alpha$ ; kuadran III: $180^\circ + \alpha$ ; kuadran IV: $360^\circ - \alpha$ . Tanda $a$ dan $b$ menentukan kuadran.

Jebakan: menulis modulus $|z| = a + b$ (menjumlahkan komponen). Yang benar: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — sisi miring segitiga siku-siku, bukan jumlah sisi siku-siku.

Bidang Argand: sumbu mendatar = bagian real, sumbu tegak = bagian imajiner; $z = a + bi$ jadi titik $(a, b)$ .
Modulus $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ = jarak titik $z$ ke pusat (sisi miring segitiga).
Argumen $\arg(z)$ = sudut dari sumbu real positif ke vektor $\overrightarrow{Oz}$ ; periksa kuadran.
Bentuk kutub $z = |z|(\cos \theta + i\sin\theta)$ = cara kedua menulis titik yang sama.
Tantangan “tempatkan $z$ ”: modulus = seberapa jauh, argumen = ke arah mana.