Langsung ke isi
Lyra
Matematika · Kelas 11–12 · Fase F · 8 menit baca

Akar Kompleks Persamaan Kuadrat

Setelah ini kamu bisa menuliskan akar persamaan kuadrat berdiskriminan negatif sebagai pasangan bilangan kompleks konjugat p±qip \pm qi dan menghitungnya lewat rumus ABC.

Sebuah bola dilempar mengikuti parabola y=−x2+1y = -x^2 + 1, lalu kamu menanyakan kapan bola menyentuh tanah. Jawabnya mudah: di x=±1x = \pm 1. Tapi ganti persamaannya menjadi y=−x2−1y = -x^2 - 1. Bola tidak pernah menyentuh tanah — di dunia real, tidak ada solusi. Padahal rumus ABC bilang akarnya ada: x=±ix = \pm i. Akar itu tidak hilang, hanya pindah rumah ke dunia lain: bidang kompleks. Geser slider di bawah dan saksikan akar-akar itu melompat dari sumbu-x ke udara, lalu muncul sebagai sepasang kembar yang tercermin.

Coba geser slider cc melewati angka positif, dan perhatikan parabola lepas dari sumbu-x.

Saat parabola lepas dari sumbu-x

Ingat kembali persamaan kuadrat ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. Akar-akarnya ditentukan oleh rumus ABC x=−b±D2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} dengan diskriminan D=b2−4acD = b^2 - 4ac. Selama D≥0D \geq 0, akarnya berupa bilangan real dan parabola memotong atau menyinggung sumbu-x.

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Arti tiap simbol: D=b2−4acD = b^2 - 4ac adalah diskriminan; tanda DD menentukan jenis akar; ±\pm menghasilkan dua akar yang berbeda saat D>0D > 0.

Pada plot di atas, persamaannya −x2+c=0-x^2 + c = 0 dengan a=−1,b=0a = -1, b = 0. Diskriminannya D=02−4(−1)(c)=4cD = 0^2 - 4(-1)(c) = 4c. Saat c=−2c = -2, D=−8<0D = -8 < 0 dan parabola memotong sumbu-x di dua titik. Geser slider cc menjadi positif: parabola naik dan tidak lagi menyentuh sumbu-x — di dunia real tidak ada akar. Tapi rumus ABC tetap menghasilkan sesuatu, hanya isinya kini bilangan negatif\sqrt{\text{bilangan negatif}}.

Akar kompleks: pindah rumah ke bidang Argand

Saat D<0D < 0, bentuk D\sqrt{D} tidak punya jawaban di bilangan real. Tetapi dengan satuan imajiner i=−1i = \sqrt{-1}, kamu bisa menulis D=−∣D∣=i∣D∣\sqrt{D} = \sqrt{-|D|} = i\sqrt{|D|}. Substitusikan ke rumus ABC:

x1,2=−b2a±i∣D∣2a=p±qix_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{i\sqrt{|D|}}{2a} = p \pm qi

Arti tiap simbol: bagian real p=−b2ap = \dfrac{-b}{2a}; bagian imajiner q=∣D∣2aq = \dfrac{\sqrt{|D|}}{2a}; dua akar p+qip+qi dan p−qip-qi adalah sepasang konjugat.

Jadi akarnya tidak hilang — hanya pindah ke bidang kompleks. Untuk −x2+2=0-x^2 + 2 = 0, D=8<0D = 8 < 0? Salah, D=0−4(−1)(2)=8>0D = 0 - 4(-1)(2) = 8 > 0 sehingga akarnya real. Coba −x2−2=0-x^2 - 2 = 0: D=−8<0D = -8 < 0, p=0p = 0, q=82=2q = \dfrac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2}. Akarnya x=±2 ix = \pm \sqrt{2}\, i. Pada bidang Argand di bawah, kedua akar ini tampak sebagai dua titik simetris terhadap sumbu real.

Simetri cermin: pasangan konjugat

Ciri khas akar kompleks persamaan kuadrat adalah selalu muncul berpasangan sebagai konjugat: jika p+qip + qi akar, maka p−qip - qi juga akar. Secara geometris, kedua titik ini saling tercermin terhadap sumbu real — seperti bayangan cermin. Inilah inti mengapa koefisien persamaan kuadrat yang real hanya bisa menghasilkan akar yang berkonjugat, tidak pernah satu akar kompleks sendirian.

Bayangkan sumbu real sebagai permukaan danau yang tenang. Akar kompleks jatuh ke danau sebagai tetes hujan: setiap tetes yang menyentuh permukaan menciptakan riak identik di bawah air — itulah pasangan konjugatnya. Koefisien persamaan kuadrat yang real seperti hukum fisika danau: riak di atas selalu punya pasangan di bawah, tidak pernah hanya satu.

Akar menjaujaga saat cc dinaikkan

Untuk persamaan x2+c=0x^2 + c = 0 (dengan a=1,b=0a = 1, b = 0), akarnya x=±−cx = \pm\sqrt{-c}. Saat cc makin besar positif, akar-akarnya x=±icx = \pm i\sqrt{c} menjaujaga dari sumbu real di bidang kompleks — bagian imajinernya membesar. Pada plot di bawah, lihat parabola makin naik menjauhi sumbu-x; jarak akar ke sumbu real (yang sama dengan c\sqrt{c}) ikut membesar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan akar-akar persamaan x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0.

a=1,b=−2,c=5a = 1, b = -2, c = 5. D=b2−4ac=(−2)2−4(1)(5)=4−20=−16D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. Karena D<0D < 0, akarnya berupa pasangan bilangan kompleks konjugat.

∣D∣2a=162=42=2\dfrac{\sqrt{|D|}}{2a} = \dfrac{\sqrt{16}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2, jadi q=2q = 2. Bagian real p=−b2a=22=1p = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{2}{2} = 1.

x1,2=p±qi=1±2ix_{1,2} = p \pm qi = 1 \pm 2i. Jadi akarnya x1=1+2ix_1 = 1 + 2i dan x2=1−2ix_2 = 1 - 2i — sepasang konjugat yang di bidang Argand berada di kuadran I dan IV, sama-sama berjarak 12+22=5\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} dari pusat.

Latih kecepatan menemukan akar kompleks persamaan kuadrat sederhana di bawah.

Jebakan: menulis akar kompleks hanya satu (misalnya x=1+2ix = 1 + 2i saja). Yang benar: akar kompleks selalu berpasangan konjugat — bila 1+2i1 + 2i akar, maka 1−2i1 - 2i juga akar. Tulis selalu x1,2=p±qix_{1,2} = p \pm qi.

Jebakan: mengira D<0D < 0 berarti persamaan tidak punya akar sama sekali. Yang benar: persamaan tetap punya dua akar, hanya keduanya bilangan kompleks (bukan real). Akar tidak hilang, hanya pindah ke bidang kompleks.

Jebakan: menulis −16=−4\sqrt{-16} = -4 atau −16=4\sqrt{-16} = 4. Yang benar: −16=16⋅(−1)=4i\sqrt{-16} = \sqrt{16 \cdot (-1)} = 4i. Akar kuadrat bilangan negatif selalu melibatkan satuan imajiner ii.

  • Saat D=b2−4ac<0D = b^2 - 4ac < 0, akar persamaan kuadrat berupa pasangan kompleks konjugat.
  • Rumus akar kompleks: x1,2=−b2a±i∣D∣2a=p±qix_{1,2} = \dfrac{-b}{2a} \pm \dfrac{i\sqrt{|D|}}{2a} = p \pm qi.
  • Akar kompleks selalu berpasangan konjugat; tidak pernah hanya satu.
  • Pasangan konjugat saling tercermin terhadap sumbu real di bidang Argand.
  • −N=iN\sqrt{-N} = i\sqrt{N} — selalu sertakan satuan imajiner ii.