Fungsi Nilai Mutlak

Nilai mutlak: jarak dari nol

Nilai mutlak sebuah bilangan adalah jaraknya dari nol pada garis bilangan, sehingga selalu tak negatif. Notasinya $|x|$, dibaca “mutlak x”. Untuk $x \geq 0$, $|x| = x$; untuk $x < 0$, $|x| = -x$ (dibalik tandanya). Jadi $|3| = 3$ dan $|-3| = 3$ — keduanya berjarak 3 dari nol.

Dari garis menjadi huruf V

Cara terbaik memahami grafik nilai mutlak adalah membayangkan sebuah “mesin pelipat”. Ambil garis $y = x - h$ biasa. Bagian garis yang berada di atas sumbu-x dibiarkan; bagian yang di bawah (negatif) dilipat ke atas menjadi positif. Hasil pelipatan itu adalah $y = |x - h|$, sebuah huruf V dengan titik sudut di $(h, 0)$.

Pada plot di bawah, kurva $y = x - 2$ (netral, garis biasa) dilipat menjadi $y = |x - 2|$ (aksen1). Geser $h$ dan amati titik pelipatan $(h, 0)$ ikut bergeser — di sanalah garis berganti dari naik ke turun (atau sebaliknya).

Peran koefisien $a$: tajam atau landai

Pada $y = a|x - h| + k$, koefisien $a$ mengatur ketajaman huruf V. Bila $|a| > 1$, V menjadi lebih sempit dan tajam; bila $0 < |a| < 1$, V menjadi lebih lebar dan landai. Bila $a$ negatif, V terjungkal ke bawah membentuk huruf terbalik — titik sudutnya menjadi titik tertinggi, bukan terendah.

Geser $a$ pada plot di bawah. Perhatikan V menyempit atau melebar sementara titik sudut $(0, 0)$ tetap di tempat; saat $a$ negatif, V terbalik sepenuhnya.

Menyelesaikan persamaan $|f(x)| = c$

Persamaan nilai mutlak seperti $|x - 2| = 3$ punya makna geometris yang rapi: cari semua $x$ sehingga jarak $f(x)$ dari nol sama dengan $c$. Secara grafis, tarik garis horizontal $y = c$; jumlah titik potongnya dengan kurva V sama dengan jumlah solusi. Bila $c > 0$, biasanya ada dua solusi; bila $c = 0$, satu solusi (titik sudut); bila $c < 0$, tak ada solusi karena nilai mutlak tak pernah negatif.

Pada plot di bawah, kurva $y = |x - 2|$ (aksen1) dipotong garis horizontal $y = c$ (negatif). Geser $c$ dan amati jumlah titik potong berubah: dua saat $c$ positif, satu saat $c = 0$, nol saat $c$ negatif.