Persamaan Eksponensial Basis Sama — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan persamaan $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ dengan menyamakan basis lalu menyamakan pangkat.

Berapakah $x$ jika $2^{x+1} = 2^{5}$ ? Jika basisnya sama, kamu tinggal samakan pangkatnya: $x + 1 = 5$ , jadi $x = 4$ . Tetapi bagaimana kalau bentuknya $2^{x+1} = 8$ ? Angka $8$ tampak berbeda dari $2$ , padahal $8 = 2^3$ . Begitu basis disamakan, persamaan yang rumit menjadi sangat sederhana. Trik “samakan basis, lalu samakan pangkat” inilah inti persamaan eksponensial. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $a$ , lalu amati titik potong kedua kurva eksponen — absisnya itulah solusi persamaan.

Inti: basis sama, pangkat menentukan

Fungsi eksponen $y = a^x$ (dengan $a > 0$ dan $a \neq 1$ ) bersifat satu-satu: setiap nilai $y$ hanya dicapai oleh tepat satu nilai $x$ . Akibatnya, bila $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ , maka pastilah $f(x) = g(x)$ . Inilah jantung persamaan eksponensial basis sama.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel di dalam pangkat. Untuk basis positif sama $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ), berlaku: jika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ maka $f(x) = g(x)$ .

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x), \quad a > 0, \, a \neq 1$

Arti tiap simbol: $a$ basis positif bukan 1, $f(x)$ dan $g(x)$ pangkat yang keduanya dipegang variabel $x$ .

Syarat $a > 0$ dan $a \neq 1$ penting. Basis $1$ dilarang sebab $1^x = 1$ untuk semua $x$ — pangkat jadi tak menentukan apa-apa.

Menyamakan basis berbeda

Banyak soal tidak langsung memberi basis sama. Misalnya $2^{x+1} = 8$ . Ubah $8$ menjadi $2^3$ (basis prima terkecil), sehingga persamaan menjadi $2^{x+1} = 2^3$ . Sekarang basis sama, jadi samakan pangkat: $x + 1 = 3$ , diperoleh $x = 2$ .

Kunci menyamakan basis ialah mengenali basis prima dan relasi kuasa: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $9 = 3^2$ , $27 = 3^3$ , $16 = 2^4$ atau $4^2$ , dan $25 = 5^2$ . Geser slider berikut untuk membandingkan kurva $2^x$ , $4^x = 2^{2x}$ , dan $8^x = 2^{3x}$ — ketiganya hanya kelipatan pangkat dari $2^x$ .

Memeriksa solusi di domain

Setelah mendapat $x$ , selalu cek apakah pangkat asal terdefinisi. Untuk pangkat bilangan real, ekspresi seperti $2^{1/x}$ melarang $x = 0$ . Pada persamaan $3^{2x-1} = 27 = 3^3$ , samakan pangkat menjadi $2x - 1 = 3$ , sehingga $x = 2$ — nilai yang tak melanggar domain apa pun.

Berpikir balik: daripada menebak nilai eksponen, tanyakan “pangkat berapa yang membuat basis-kuasa ini mencapai nilai itu?” Ubah konstanta besar menjadi basis pangkat, lalu persamaan jadi aljabar biasa.

Geser slider $k$ di bawah untuk menyusun persamaan $3^{x-1} = 3^k$ ; solusi $x = k+1$ ditampilkan sebagai titik, dengan kotak cek domain.

Mengapa basis 1 dilarang

Khusus basis $1$ , aturan ini runtuh. Sebab $1^{2026} = 1^{0} = 1^{-5} = 1$ , persamaan $1^x = 1$ dipenuhi oleh semua $x$ — bukan satu solusi. Itulah syarat $a \neq 1$ disertakan eksplisit di definisi. Jika sebuah soal memberi basis $1$ , ia memiliki solusi trivial “semua bilangan real” dan biasanya dianggap tak punya jawaban tunggal. Geser $b$ di bawah dan lihat bagaimana $b^x$ “menyala” sebagai pemisah nilai hanya saat $b$ menjauhi $1$ .

Soal persamaan eksponensial sering muncul di UTBK Pengetahuan Kuantitatif, biasanya dalam bentuk “samakan basis, lalu samakan pangkat” dengan basis prima 2 atau 3. Trik cepat: ubah semua basis ke prima terkecil, coret basisnya, selesaikan persamaan linear atau kuadrat di pangkat. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan persamaan eksponensial dasar pada elemen Aljabar dan Fungsi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Selesaikan persamaan $2^{x+1} = 8^{x-2}$ .

$8 = 2^3$ , jadi ruas kanan menjadi $(2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)} = 2^{3x-6}$ . Persamaan kini $2^{x+1} = 2^{3x-6}$ .

Karena basis sama, $x + 1 = 3x - 6$ .

$1 + 6 = 3x - x$ , sehingga $7 = 2x$ , maka $x = 3,5$ . Cek: $2^{4,5} = 2^{3 \cdot 1,5} = 2^{4,5}$ , cocok.

Latihan berikut mengacak soal persamaan eksponen. Kerjakan dahulu di kertas, ketik nilai $x$ , lalu tekan Soal baru untuk ganti.

Jebakan: menyamakan pangkat padahal basisnya belum sama, misalnya pada $2^{x} = 3^{x}$ ditulis $x = x$ . Yang benar: basis harus disamakan dulu; bila basis berbeda dan tidak bisa disamakan ke prima yang sama, gunakan sifat pembagian: $\frac{2^x}{3^x} = 1 \Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \Rightarrow x = 0$ .

Jebakan: melupakan syarat basis bukan 1. Yang benar: bila soal memberi basis $1$ , persamaan $1^x = 1$ dipenuhi semua $x$ — biasanya soal seperti ini dianggap tak punya jawaban tunggal.

Jika $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ dengan $a > 0$ dan $a \neq 1$ , maka $f(x) = g(x)$ .
Untuk basis berbeda, ubah ke basis prima terkecil: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $9 = 3^2$ .
Setelah basis sama, selesaikan persamaan linear/kuadrat biasa di pangkat.
Basis $1$ dilarang sebab $1^x = 1$ untuk semua $x$ (tak ada solusi unik).
Selalu cek apakah solusi berada di domain pangkat yang diizinkan.