Sifat-Sifat Eksponen: Kali, Bagi, Pangkat Bertingkat

Setelah ini kamu bisa menerapkan tiga sifat eksponen — perkalian, pembagian, dan pangkat bertingkat — untuk menyederhanakan bentuk pangkat.

Kamu sudah tahu bahwa $2^3 = 8$ dan $2^4 = 16$ . Kalau dikalikan biasa, $8 \cdot 16 = 128$ . Tetapi $2^3 \cdot 2^4$ punya jalan pintas: cukup gabungkan pangkatnya jadi $2^{3+4} = 2^7 = 128$ . Dari mana datangnya rumus $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ? Tidak perlu dihafal — ia muncul sendiri dari makna pangkat sebagai perkalian berulang. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser slider $m$ dan $n$ , lalu amati bagaimana hasil $2^m \cdot 2^n$ sama dengan $2^{m+n}$ .

Sifat perkalian: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ingat kembali makna pangkat: $a^m$ berarti $a$ dikalikan $m$ kali, dan $a^n$ berarti $a$ dikalikan $n$ kali. Kalau kamu mengalikan keduanya, semua faktor bersatu menjadi satu deretan $a$ sebanyak $m + n$ faktor. Itulah asal rumus $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

Contoh konkret: $2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ . Tanda kurung itu tidak mengapa—apakan hasil kali, jadi kamu tinggal hitung ada tujuh faktor $2$ . Hasilnya $2^7 = 128$ .

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Arti tiap simbol: $a$ = basis yang sama, $m$ dan $n$ = eksponen (bisa bilangan bulat apa pun setelah aturan pangkat nol dan negatif dibahas).

Penting: sifat ini berlaku hanya jika basisnya sama. Jadi $2^3 \cdot 3^4$ tidak bisa digabung jadi satu pangkat — basisnya beda. Di widget tadi, ketiga titik selalu berada pada kurva $y = 2^x$ yang sama karena basisnya seragam $2$ .

Sifat pembagian: $a^m \div a^n = a^{m-n}$

Sekarang balikkan logikanya. Kalau perkalian menambah faktor, pembagian mencoret faktor yang sama. $a^m \div a^n$ berarti menulis $m$ faktor $a$ lalu membagi (mencoret) $n$ faktor $a$ . Sisa faktor yang tak tercoret berjumlah $m - n$ .

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Arti tiap simbol: $a \neq 0$ (pembagian oleh nol tak terdefinisi), $m, n$ eksponen.

Contoh: $2^5 \div 2^2 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$ . Coret dua faktor $2$ di atas dan di bawah, tersisa tiga faktor. Jadi hasilnya $2^{5-2} = 2^3 = 8$ . Di bawah, geser slider $m$ dan $n$ dan amati hasil bagi $2^m \div 2^n$ selalu sama dengan $2^{m-n}$ .

Pangkat bertingkat: $(a^m)^n = a^{mn}$

Kasus terakhir adalah pangkat yang dipangkatkan lagi. $(a^m)^n$ berarti $a^m$ dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali. Karena setiap $a^m$ sudah memuat $m$ faktor $a$ , maka totalnya ada $m \cdot n$ faktor $a$ . Maka $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ .

Contoh: $(2^3)^4 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3$ . Ada empat kelompok yang masing-masing berisi tiga faktor $2$ , total $12$ faktor. Jadi hasilnya $2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096$ . Geser slider di bawah dan bandingkan langsung nilai $(2^m)^n$ dengan $2^{mn}$ .

Merangkai tiga sifat

Dalam soal nyata, ketiga sifat ini sering dipakai berurutan. Misalnya $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$ : mula-mula gabungkan pembilang jadi $2^{5+3} = 2^8$ , lalu bagi dengan penyebut menjadi $2^{8-4} = 2^4 = 16$ . Kuncinya selalu: kenali basis yang sama, lalu terapkan sifat yang tepat — kali menambah, bagi mengurangi, pangkat mengalikan eksponen.

Di TKA dan UTBK, sifat eksponen adalah dasar dari hampir semua soal bentuk pangkat: menyederhanakan ekspresi, menyelesaikan persamaan eksponensial, hingga membandingkan dua bentuk pangkat. Tipikal soal: “nila dari $3^5 \cdot 3^2 \div 3^4$ ”. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan sifat eksponen sebagai cakupan resmi elemen Bilangan.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sederhanakan bentuk $\frac{(2^3)^2 \cdot 2^4}{2^5}$ menjadi bentuk $2^k$ , lalu nyatakan nilainya.

$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$ . Sekarang pembilang menjadi $2^6 \cdot 2^4$ .

$2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$ .

$\frac{2^{10}}{2^5} = 2^{10-5} = 2^5 = 32$ . Jadi $k = 5$ dan nilainya $32$ .

Latihan berikut mengacak soal penyederhanaan. Kerjakan dahulu di kertas, ketik jawaban akhir berupa $2^k$ , lalu tekan Soal baru untuk ganti.

Jebakan: menggabungkan pangkat berbasis berbeda dengan rumus $a^m \cdot b^n$ . Yang benar: sifat $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ hanya berlaku untuk basis sama; $2^3 \cdot 3^4$ tidak bisa dijadikan satu pangkat, hitung saja terpisah menjadi $8 \cdot 81 = 648$ .

Jebakan: menambahkan eksponen pada pangkat bertingkat, misalnya $(a^m)^n = a^{m+n}$ . Yang benar: pangkat bertingkat mengalikan eksponen, $(a^m)^n = a^{mn}$ .

Perkalian basis sama menambah eksponen: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .
Pembagian basis sama mengurangi eksponen: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ( $a \neq 0$ ).
Pangkat bertingkat mengalikan eksponen: $(a^m)^n = a^{mn}$ .
Semua sifat berlaku hanya jika basisnya sama (kecuali pangkat bertingkat yang menumpuk basis yang sama).
Dalam soal, rangkai sifat berurutan: kerjakan pangkat bertingkat dulu, lalu kali, lalu bagi.

Sifat perkalian: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}am⋅an=am+n

Sifat pembagian: am÷an=am−na^m \div a^n = a^{m-n}am÷an=am−n

Pangkat bertingkat: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}(am)n=amn

Merangkai tiga sifat

Sifat perkalian: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Sifat pembagian: $a^m \div a^n = a^{m-n}$

Pangkat bertingkat: $(a^m)^n = a^{mn}$