Sudut antara Garis dan Bidang di Ruang — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menentukan sudut antara dua garis, antara garis dan bidang, serta antara dua bidang pada bangun ruang memakai proyeksi dan perbandingan trigonometri.

Bayangkan sebuah tangga disandarkan ke dinding. Berapa sudut tangga terhadap lantai? Berapa sudut tangga terhadap dinding? Soal seperti ini adalah inti sudut dalam ruang: yang diukur selalu sudut lancip yang terbentuk setelah kita memproyeksikan objek dengan benar. Kubus dan limas penuh dengan sudut tersembunyi seperti ini — putar bangun di bawah dan temukan sendiri sudut-sudutnya.

Putar segi-banyak di bawah dengan menyeret titiknya, lalu perhatikan bagaimana dua rusuk yang berpotongan membentuk sudut di titik temu.

Sudut antara dua garis yang berpotongan

Bila dua garis berpotongan di satu titik, sudut di antara keduanya adalah sudut lancip yang terbentuk di titik potong itu. Pada kubus $ABCD.EFGH$ , rusuk $AB$ dan $AD$ berpotongan di titik $A$ membentuk sudut $90^\circ$ karena keduanya tegak lurus. Tetapi rusuk $AB$ dan diagonal sisi $AC$ berpotongan di titik $A$ membentuk sudut $45^\circ$ (diagonal membagi sudut persegi menjadi dua sama bagian).

Sudut antara dua garis berpotongan adalah sudut lancip yang terbentuk di titik potong. Bila kedua garis bersilangan (tidak berpotongan), sudutnya diukur dengan menggeser satu garis sejajar hingga berpotongan dengan garis lain, lalu mengukur sudut lancipnya.

Bangun widget-utama memperlihatkan dua rusuk yang bertemu di titik sudut. Seret titik untuk melihat sudut apit yang berubah — itu cara membaca sudut antara dua garis berpotongan.

Sudut antara garis dan bidang

Inilah konsep baru yang khas geometri ruang. Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang adalah sudut lancip yang terbentuk antara garis dengan proyeksinya pada bidang. Cara mencarinya: tarik dari satu titik pada garis sebuah ruas tegak lurus ke bidang, lalu hubungkan titik kaki tegak lurus itu dengan titik potong garis dan bidang. Ruas penghubung ini adalah proyeksi garis pada bidang, dan sudut antara garis dengan proyeksinya itulah yang dicari.

$\tan \theta = \frac{\text{rusuk tegak (jauh dari bidang)}}{\text{proyeksi garis pada bidang}}$

Arti tiap simbol: $\theta$ = sudut antara garis dan bidang, pembilang = rusuk yang tegak lurus bidang, penyebut = panjang proyeksi garis pada bidang.

Bangun di bawah menggambarkan situasi tiga titik: titik $P$ di luar bidang, kaki tegak lurus $Q$ pada bidang, dan titik temu $T$ di mana garis memotong bidang. Sudut $\angle PTQ$ adalah sudut antara garis $PT$ dan bidang. Seret untuk merasakan bagaimana tinggi tegak lurus memengaruhi besar sudut.

Bayangkan sinar matahari tepat di atas kepala (tegak lurus tanah). Sebatang tongkat miring akan membentuk dua sudut: sudut antara tongkat dengan tanah (sudut garis-bidang), dan sudut antara tongkat dengan bayangannya di tanah (sudut antara garis dengan proyeksinya). Keduanya sudut yang sama! Proyeksi = bayangan tegak lurus.

Sudut antara dua bidang (sudut dihedral)

Dua bidang yang berpotongan membentuk sebuah garis potong. Sudut antara dua bidang (sudut dihedral) diukur dengan cara: pada masing-masing bidang, tarik sebuah garis yang tegak lurus terhadap garis potong, lalu ukur sudut antara dua garis tegak lurus itu. Pada kubus, dua sisi yang bersebelahan (misalnya alas $ABCD$ dan depan $ABFE$ ) saling tegak lurus, sehingga sudut dihedralnya $90^\circ$ .

Bangun di bawah menggambarkan situasi dua garis tegak lurus pada garis potong; seret untuk melihat bagaimana sudut dihedral berubah. Untuk kasus umum, bentuk segitiga siku-siku bantu di setiap bidang agar perhitungan trigonometrinya jelas.

Soal sudut dalam ruang muncul di UTBK Pengetahuan Kuantitatif dan TKA geometri-pengukuran (kerangka 045/H/AN/2025): sudut antara diagonal sisi dengan alas, sudut antara dua bidang diagonal kubus, sudut antara rusuk limas dengan alas. Triknya: selalu gambar proyeksi dulu, bentuk segitiga siku-siku bantu, lalu selesaikan dengan $\tan$ , $\sin$ , atau $\cos$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $6$ cm. Hitung: (a) sudut antara diagonal sisi $AC$ dengan alas $ABCD$ ; (b) sudut antara diagonal ruang $AG$ dengan alas $ABCD$ .

Diagonal sisi $AC$ terletak sepenuhnya pada bidang alas $ABCD$ . Garis yang berimpit dengan bidang memiliki sudut $0^\circ$ terhadap bidang itu. Jadi sudut antara $AC$ dan bidang alas adalah $0^\circ$ .

Tarik dari $G$ ruas tegak lurus $GC$ ke bidang alas (karena $GC$ adalah rusuk tegak). Proyeksi $AG$ pada bidang alas adalah $AC = 6\sqrt{2}$ cm, dan $GC = 6$ cm. Bentuk segitiga siku-siku $ACG$ siku di $C$ .

Sudut antara $AG$ dan bidang alas adalah sudut $\angle CAG$ di titik temu $A$ . $\tan(\angle CAG) = \dfrac{GC}{AC} = \dfrac{6}{6\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707$ , sehingga $\angle CAG = \arctan(1/\sqrt{2}) \approx 35{,}26^\circ$ .

Pola yang sama berlaku untuk limas, prisma, dan bangun ruang lain. Uji dirimu dengan latihan berikut.

Jebakan: mengukur sudut antara garis dan bidang sebagai sudut antara garis dengan sembarang garis di bidang. Yang benar: sudut diukur antara garis dengan proyeksinya pada bidang — proyeksi yang dibentuk lewat ruas tegak lurus dari titik pada garis ke bidang.

Jebakan: menyatakan sudut antara dua bidang sebagai sudut antara dua sembarang garis pada masing-masing bidang. Yang benar: sudut dihedral diukur antara dua garis yang masing-masing tegak lurus garis potong kedua bidang — bukan garis sembarang.

Sudut dua garis berpotongan = sudut lancip di titik potong.
Sudut dua garis bersilangan = geser satu garis sejajar hingga berpotongan, lalu ukur.
Sudut antara garis dan bidang = sudut antara garis dengan proyeksinya pada bidang.
Sudut antara dua bidang (dihedral) = sudut dua garis yang masing-masing tegak lurus garis potong.
Pola soal: gambar proyeksi → bentuk segitiga siku-siku → selesaikan dengan $\tan/\sin/\cos$ .