Luas dan Volume Bangun Ruang Gabungan — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung luas permukaan dan volume bangun gabungan (tabung, kerucut, setengah bola) dengan memecahnya menjadi bangun penyusun dan menerapkan rumus dasar.

Sebuah tandon air sering berbentuk silinder dengan atap kerucut — kadang ditutup setengah bola di puncaknya. Berapa liter air yang muat? Berapa meter persegi lembaran besi yang dibutuhkan untuk membuatnya? Soal seperti ini melatih satu keterampilan kunci: memecah bangun rumit menjadi bangun-bangun sederhana yang rumusnya sudah kamu kuasai. Seret bangun di bawah dan lihat sendiri bagaimana bagian-bagiannya bekerja sama.

Seret titik sudut segi-empat di bawah ini, lalu perhatikan bagaimana jari-jari dan tinggi sebuah tabung bisa diubah-ubah.

Tiga bangun penyusun dan rumusnya

Bangun gabungan adalah gabungan beberapa bangun ruang sederhana. Tiga yang paling sering muncul adalah tabung (silinder), kerucut, dan bola (atau setengah bola). Untuk menghitung luas permukaan dan volume gabungan, kuasai dulu rumus tiap bangun penyusun.

$V_{\text{tabung}} = \pi r^2 t, \quad V_{\text{kerucut}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 t, \quad V_{\text{bola}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

Arti tiap simbol: $r$ = jari-jari alas, $t$ = tinggi. Volume kerucut tepat sepertiga tabung dengan alas dan tinggi yang sama; volume bola = $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ .

Bangun widget-utama menggambarkan selimut tabung sebagai persegi panjang — salah satu sisi panjangnya sama dengan keliling lingkaran alas $2\pi r$ , sisi lainnya adalah tinggi $t$ . Seret titik untuk merasakan bagaimana jari-jari dan tinggi memengaruhi ukuran selimut dan volume.

Kerucut: sepertiga tabung

Penting untuk diingat: volume sebuah kerucut dengan jari-jari $r$ dan tinggi $t$ adalah sepertiga volume tabung dengan jari-jari dan tinggi yang sama. Artinya, tiga kerucut berisi penuh dapat dituangkan tepat ke dalam satu tabung berukuran sama. Sifat ini sangat berguna saat menghitung bangun gabungan: bagian kerucut selalu menyumbang sepertiga dari volume tabung bersesuaian.

Bangun di bawah menggambarkan kerucut sebagai segitiga (penampang vertikal). Seret puncak kerucut untuk mengubah tingginya, dan perhatikan hubungan antara jari-jari alas, tinggi, dan volume.

Bayangkan kerucut dan tabung sebagai dua gelas dengan ukuran sama. Tuang pasir dari gelas kerucut ke gelas tabung; gelas tabung baru penuh setelah kamu menuang tiga kali dari kerucut yang sama. Itulah makna $\tfrac{1}{3}$ pada rumus volume kerucut.

Setengah bola sebagai tutup gabungan

Banyak bangun gabungan memakai setengah bola sebagai tutup (misalnya tangki dengan atap hemisfer). Volume setengah bola adalah setengah volume bola: $V_{\text{setengah bola}} = \tfrac{2}{3}\pi r^3$ , dan luas permukaan lengkungnya (selimut) adalah $2\pi r^2$ . Jika tandon air berbentuk tabung dengan tutup setengah bola, volumenya adalah jumlah volume tabung dan volume setengah bola — asalkan jari-jari setengah bola sama dengan jari-jari tabung (agar tepat menempel).

Bangun di bawah menggambarkan gabungan secara konseptual sebagai bangun yang disusun dari komponen-komponen. Seret titik untuk merasakan bagaimana ukuran tiap komponen menentukan volume dan luas total.

Ringkas: pecah, hitung, gabungkan

Untuk setiap soal bangun gabungan, ikuti tiga langkah: (1) Pecah bangun menjadi komponen-komponen (tabung, kerucut, setengah bola, dan lainnya). (2) Hitung volume atau luas permukaan tiap komponen dengan rumus dasar. (3) Gabungkan: jumlahkan untuk bagian yang menempel, atau kurangkan untuk bagian yang berlubang. Perhatikan juga permukaan yang tertutup (misalnya permukaan alas tabung yang menempel pada kerucut) — biasanya tidak dihitung dalam luas permukaan luar.

Soal bangun gabungan adalah favorit TKA geometri-pengukuran (kerangka 045/H/AN/2025) dan UTBK (Penalaran Matematik serta Pengetahuan Kuantitatif): tandon air, tabung dengan kerucut di atasnya, kubus berlubang setengah bola. Triknya: pecah menjadi komponen, hitung masing-masing, lalu jumlah/kurangi dengan hati-hati — terutama perhatikan permukaan yang tertutup.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah tandon air berbentuk tabung dengan tutup setengah bola. Jari-jari tabung $7$ cm dan tinggi tabung $20$ cm. (Gunakan $\pi = \tfrac{22}{7}$ .) Hitung: (a) volume tandon; (b) volume kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang sama dengan tabung itu.

Tandon terdiri dari: (i) tabung dengan $r = 7$ , $t = 20$ ; (ii) setengah bola dengan $r = 7$ . Karena jari-jari setengah bola sama dengan jari-jari tabung, keduanya menempel rapat.

$V_{\text{tabung}} = \pi r^2 t = \tfrac{22}{7} \cdot 7^2 \cdot 20 = 22 \cdot 7 \cdot 20 = 3.080$ cm³. $V_{\text{setengah bola}} = \tfrac{2}{3}\pi r^3 = \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{22}{7} \cdot 343 = \tfrac{2}{3} \cdot 22 \cdot 49 = \tfrac{2.156}{3} \approx 718{,}67$ cm³. Volume total $\approx 3.798{,}67$ cm³.

Kerucut dengan $r = 7$ dan $t = 20$ memiliki volume $\tfrac{1}{3} \pi r^2 t = \tfrac{1}{3} \cdot 3.080 \approx 1.026{,}67$ cm³. Tepat sepertiga volume tabung — sifat penting yang sering muncul di soal.

Pola pecah-hitung-gabungkan itu berlaku untuk semua bangun gabungan. Uji dirimu dengan latihan berikut.

Jebakan: menghitung luas permukaan bangun gabungan dengan menjumlahkan seluruh luas permukaan tiap komponen. Yang benar: hilangkan permukaan yang tertutup (tempat dua komponen menempel) — permukaan itu bukan bagian dari permukaan luar bangun.

Jebakan: menganggap volume kerucut sama dengan volume tabung yang bersesuaian. Yang benar: volume kerucut = sepertiga volume tabung dengan alas dan tinggi yang sama — jangan lupa faktor $\tfrac{1}{3}$ .

Volume tabung = $\pi r^2 t$ ; kerucut = $\tfrac{1}{3}\pi r^2 t$ ; bola = $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Kerucut bersesuaian = sepertiga tabung yang bersesuaian.
Volume setengah bola = $\tfrac{2}{3}\pi r^3$ (setengah volume bola penuh).
Strategi: pecah → hitung tiap komponen → gabungkan (jumlah/kurangi).
Permukaan tertutup (tempat menempel) tak dihitung dalam luas permukaan luar.