Kedudukan Garis terhadap Lingkaran — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menentukan apakah sebuah garis memotong, menyinggung, atau di luar lingkaran lewat diskriminan atau jarak pusat ke garis.

Bayangkan sebuah lintasan jalan tol yang lurus dan sebuah danau berbentuk lingkaran di peta. Jalan itu bisa melewati tepi danau, memotong danau di dua titik, atau sama sekali tidak menyentuhnya. Dalam geometri analitik, hubungan garis dan lingkaran punya tiga kedudukan seperti itu: memotong, menyinggung, atau di luar. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider m pada garis di bawah dan perhatikan jumlah titik potongnya berubah.

Tiga kedudukan garis dan lingkaran

Sebuah garis lurus dan sebuah lingkaran di bidang koordinat hanya bisa berhubungan dalam tiga cara. Garis itu dapat memotong lingkaran di dua titik berbeda, menyinggung lingkaran di tepat satu titik, atau berada di luar lingkaran tanpa bertemu sama sekali. Tiga kemungkinan inilah yang disebut kedudukan garis terhadap lingkaran.

Kedudukan garis terhadap lingkaran ada tiga: memotong (dua titik potong), menyinggung (satu titik potong), dan di luar (tidak berpotongan). Kedudukan ditentukan dari banyak titik potong.

Pada plot di atas, slider kemiringan $m$ menggerakkan garis $y = mx$ lewat lingkaran. Saat garis melandai, ia memotong lingkaran di dua titik. Pada nilai miring tertentu, dua titik potong itu melebur jadi satu — itulah posisi menyinggung.

Cara aljabar: substitusi dan diskriminan

Cara paling umum menentukan kedudukan adalah mensubstitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran, lalu mendapat persamaan kuadrat dalam satu variabel. Banyaknya akar kuadrat itu = banyaknya titik potong. Tanda diskriminan $D = b^2 - 4ac$ langsung memberitahu jawabannya.

$D = b^2 - 4ac: \quad D > 0 \text{ (memotong)}, \quad D = 0 \text{ (menyinggung)}, \quad D < 0 \text{ (di luar)}$

Arti tiap simbol: $D$ = diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi; $a, b, c$ = koefisien kuadrat, linear, konstanta. Tiga kasus: dua akar real berbeda, akar kembar, atau akar tidak real.

Plot di bawah menunjukkan kasus $D > 0$ : garis memotong lingkaran di dua titik yang jelas terlihat. Substitusi menghasilkan kuadrat dengan dua akar real.

Cara geometri: jarak pusat ke garis

Ada jalan yang lebih cepat bila kamu hanya ingin tahu kedudukan, bukan koordinat titik potongnya. Hitung jarak pusat lingkaran ke garis $d$ , lalu bandingkan dengan jari-jari $r$ . Tidak perlu substitusi kuadrat — cukup rumus jarak titik ke garis.

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}: \quad d < r \text{ (memotong)}, \quad d = r \text{ (menyinggung)}, \quad d > r \text{ (di luar)}$

Arti tiap simbol: $d$ = jarak pusat $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ ; $r$ = jari-jari lingkaran. Tiga kasus sejajar dengan diskriminan: garis menembus, menyentuh, atau menjauh.

Pada plot di bawah, slider mengubah garis $y = k$ sehingga jaraknya ke pusat berubah. Saat $k$ mendekati $r = 4$ , garis menyinggung; saat $k$ lebih kecil, garis memotong; saat lebih besar, di luar.

Soal kedudukan garis-lingkaran sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran). Pola umum: diberi persamaan lingkaran dan garis, ditanya memotong/menyinggung/di luar. Cara jarak pusat ke garis biasanya tercepat; cara diskriminan dipakai bila garis miring dan koefisiennya bersih.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan kedudukan garis $3x - 4y + 25 = 0$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ .

Lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ berbentuk baku dengan pusat $(0,0)$ dan jari-jari $r = \sqrt{25} = 5$ . Garis $3x - 4y + 25 = 0$ punya $A = 3$ , $B = -4$ , $C = 25$ .

$d = \frac{|3(0) - 4(0) + 25|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|25|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{25}{5} = 5$ . Jarak pusat ke garis sama dengan 5.

$d = 5$ dan $r = 5$ , sehingga $d = r$ . Karena jarak pusat ke garis sama dengan jari-jari, garis menyinggung lingkaran di tepat satu titik. Tanpa substitusi, jawaban sudah didapat.

Latih kecepatan menentukan kedudukan dari angka acak di bawah.

Jebakan: mencampur dua metode — menghitung jarak pusat ke garis lalu membandingkannya dengan diskriminan. Yang benar: pilih satu metode. Cara jarak membandingkan $d$ dengan $r$ ; cara diskriminan menilai tanda $D = b^2 - 4ac$ . Jangan campur keduanya dalam satu penalaran.

Jebakan: lupa mengakarkan ruas kanan saat membaca jari-jari dari persamaan lingkaran. Yang benar: $x^2 + y^2 = 25$ berarti $r^2 = 25$ , jadi $r = 5$ (bukan 25). Bandingkan $d$ dengan $r = 5$ , bukan dengan $r^2 = 25$ .

Tiga kedudukan garis-lingkaran: memotong (2 titik), menyinggung (1 titik), di luar (0 titik).
Cara diskriminan: $D > 0$ memotong, $D = 0$ menyinggung, $D < 0$ di luar.
Cara jarak: $d < r$ memotong, $d = r$ menyinggung, $d > r$ di luar.
Rumus jarak pusat $(x_0,y_0)$ ke garis $Ax+By+C=0$ adalah $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ .
Pilih metode tercepat: jarak untuk cek kedudukan, diskriminan bila butuh titik potong.