Elips & Sifat-Sifatnya — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menuliskan persamaan elips bentuk baku, membaca sumbu mayor-minor dan fokusnya, serta menghitung eksentrisitas dari persamaan.

Lingkaran adalah bangun datar yang sudah kamu kuasai, tapi planet tidak mengelilingi matahari berbentuk lingkaran sempurna — orbitnya sedikit lonjong, namanya elips. Satu elips punya dua titik istimewa bernama fokus, dan keajaibannya: jumlah jarak sembarang titik pada elips ke kedua fokus itu selalu sama. Dari sifat tali tetap inilah lahir persamaan elips. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret titik pada keliling elips di bawah dan perhatikan jumlah jaraknya ke kedua fokus selalu tetap.

Definisi: jumlah jarak ke dua fokus tetap

Elips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap selalu konstan. Dua titik tetap itu disebut fokus (tunggal: fokus), dan konstanta jumlah jaraknya sama dengan panjang sumbu mayor. Inilah sifat tali yang membuat tukang kebun bisa menggambar elips sempurna: tancapkan dua patok, ikat tali pada keduanya, lalu tarik tali tegang dengan pensil sambil mengelilingi kedua patok.

Elips adalah himpunan titik $P$ dengan $\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a$ , di mana $F_1$ dan $F_2$ adalah dua fokus dan $2a$ adalah panjang sumbu mayor. Titik tengah antara kedua fokus adalah pusat elips.

Pada bangun di atas, elips disimulasikan sebagai poligon 16 titik yang masing-masing memenuhi sifat tali. Saat elips makin memipih, kedua fokus makin menjauh pusat; saat elips makin membulat, kedua fokus makin dekat ke pusat — dan bila kedua fokus berimpit di pusat, elips menjadi lingkaran.

Persamaan baku elips

Untuk elips berpusat di $(0,0)$ dengan sumbu mayor mendatar, persamaannya bersih dan simetris. Sumbu mayor sepanjang $2a$ terentang pada sumbu- $x$ , sumbu minor sepanjang $2b$ pada sumbu- $y$ , dengan $a > b$ . Hubungan kedua fokus dengan $a$ dan $b$ ditentukan Pythagoras: $c^2 = a^2 - b^2$ , dengan $c$ = jarak pusat ke fokus.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b, \quad c^2 = a^2 - b^2$

Arti tiap simbol: $a$ = setengah sumbu mayor (terbesar); $b$ = setengah sumbu minor (terkecil); $c$ = jarak pusat ke tiap fokus; $a^2 = b^2 + c^2$ karena $a$ adalah sisi miring segitiga siku-siku yang dibentuk $b$ dan $c$ .

Plot di bawah memperlihatkan elips persamaan baku dengan dua slider: $a$ mengatur panjang sumbu mayor, $b$ mengatur sumbu minor. Perhatikan bagaimana elips melebar memanjang saat $a$ membesar, dan membulat saat $a$ mendekati $b$ .

Fokus dan eksentrisitas

Dua fokus elips berada pada sumbu mayor, berjarak $c$ dari pusat, dengan $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ . Ukuran kepipihan elips diukur dengan eksentrisitas $e = c/a$ . Karena $0 \leq c < a$ , maka $0 \leq e < 1$ . Bila $e = 0$ (kedua fokus berimpit di pusat), elips menjadi lingkaran; bila $e$ mendekati 1 (fokus mendekati ujung sumbu mayor), elips sangat pipih memanjang.

$c = \sqrt{a^2 - b^2}, \quad e = \frac{c}{a}, \quad 0 \leq e < 1$

Arti tiap simbol: $c$ = jarak pusat ke fokus; $e$ = eksentrisitas (ukuran kepipihan). $e = 0$ → lingkaran; $e$ mendekati 1 → elips sangat lonjong. Eksentrisitas selalu tak negatif dan kurang dari 1 untuk elips.

Plot di bawah menambah slider $c$ yang menggeser kedua fokus sepanjang sumbu mayor. Geser $c$ dan amati bagaimana eksentrisitas berubah; saat $c$ mendekati $a$ , elips makin memipih.

Soal elips sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Geometri dan Pengukuran). Pola umum: diberi persamaan, ditanya panjang sumbu mayor/minor, letak fokus, atau eksentrisitas. Triknya: dari penyebut tentukan $a$ dan $b$ (yang lebih besar = $a$ , di sumbu mayor); lalu hitung $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ dan $e = c/a$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui elips dengan persamaan $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . Tentukan panjang sumbu mayor, sumbu minor, koordinat fokus, dan eksentrisitas.

Penyebut $x^2$ adalah 25 (lebih besar), jadi sumbu mayor pada sumbu- $x$ dengan $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ . Penyebut $y^2$ adalah 9, jadi $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$ . Panjang sumbu mayor $= 2a = 10$ , sumbu minor $= 2b = 6$ .

$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ . Karena sumbu mayor pada sumbu- $x$ , kedua fokus berada di $(\pm c, 0) = (4, 0)$ dan $(-4, 0)$ .

$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0{,}8$ . Karena $0 \leq e < 1$ , ini sah sebagai elips, dan $e = 0{,}8$ menandakan elips yang cukup pipih (orbit planet biasanya $e$ kecil, mendekati lingkaran).

Latih membaca sumbu mayor dari persamaan acak di bawah.

Jebakan: menganggap penyebut yang lebih kecil adalah $a^2$ . Yang benar: $a^2$ selalu adalah penyebut yang lebih besar dan menentukan sumbu mayor. Bila penyebut $y^2$ lebih besar, sumbu mayor berada pada sumbu- $y$ , dan fokus pun di sumbu- $y$ .

Jebakan: menghitung eksentrisitas sebagai $e = b/a$ atau $e = a/c$ . Yang benar: $e = c/a$ dengan $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ . Hasilnya selalu berada di antara 0 dan 1 untuk elips.

Elips = himpunan titik dengan jumlah jarak ke dua fokus tetap $= 2a$ .
Persamaan baku (mayor mendatar): $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , $a > b$ .
$c = \sqrt{a^2 - b^2}$ = jarak pusat ke fokus; $a^2$ = penyebut terbesar.
Eksentrisitas $e = c/a$ ; $0 \leq e < 1$ ; $e = 0$ → lingkaran.
Lingkaran adalah elips dengan kedua fokus berimpit di pusat.