Perkalian Titik (Dot Product) Vektor

Setelah ini kamu bisa menghitung perkalian titik dua vektor lewat besar-sudut maupun lewat komponen, dan memaknainya sebagai proyeksi searah.

Kamu menarik koper bermuatan berat dengan tali yang menyiku. Mengapa tarikanmu terasa lebih ringan dari berat koper saat digeser mendatar? Karena yang benar-benar menggerakkan koper ke depan bukan seluruh gayamu — hanya komponen gaya yang searah perpindahan. Operasi matematika yang menangkap “berapa bagian satu vektor yang searah vektor lain” disebut perkalian titik. Hasilnya bukan vektor, melainkan sebuah bilangan. Coba lihat sendiri di bawah.

Seret ujung vektor b, dan perhatikan bayangan (proyeksi) b pada arah a memanjang-memendek.

Perkalian titik menghasilkan bilangan, bukan vektor

Saat dua vektor dijumlahkan, hasilnya tetap vektor. Tetapi ada operasi lain antar vektor yang hasilnya sebuah bilangan (skalar) — itulah perkalian titik. Operasi ini menjawab pertanyaan “seberapa banyak satu vektor menunjang vektor lain searah dengannya”.

Perkalian titik (dot product) dua vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ menghasilkan bilangan skalar $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\theta$ , dengan $\theta$ sudut terkecil di antara keduanya.

Bayangkan $\vec{a}$ sebagai rel dan $\vec{b}$ sebagai tongkat yang kamu sandarkan ke rel. Bayangan tongkat di atas rel (sinar matahari dari tegak lurus) adalah proyeksinya. Makin landai tongkat bersandar, makin panjang bayangannya; tegak lurus, bayangannya tinggal satu titik (nol). Perkalian titik = panjang rel kali panjang bayangan tongkat di rel.

Rumus besar-sudut: $ab\cos\theta$

Tiga faktor menentukan besar hasil titik: panjang masing-masing vektor dan sudut di antaranya. Faktor $\cos\theta$ yang menjadikan hasil titik berbeda dari sekadar perkalian panjang.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a\, b\, \cos\theta$

Arti tiap simbol: $a = |\vec{a}|$ , $b = |\vec{b}|$ = besar kedua vektor; $\theta$ = sudut terkecil antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ ( $0 \le \theta \le 180^\circ$ ). Karena $\cos\theta \le 1$ , hasil titik paling besar saat $\theta = 0^\circ$ (searah) dan nol saat $\theta = 90^\circ$ (tegak lurus).

Tanda hasil titik sepenuhnya ditentukan $\cos\theta$ : positif bila sudut lancip (vektor cenderung searah), nol bila tegak lurus (saling tak menunjang), dan negatif bila sudut tumpul (cenderung berlawanan). Geser sudut pada segitiga siku berikut untuk merasakannya.

Rumus komponen: jumlah hasil kali sekomponen

Mengukur sudut antar vektor kadang merepotkan. Bila kamu sudah tahu komponen kedua vektor, hasil titik jauh lebih mudah: kalikan komponen yang bersesuaian, lalu jumlahkan.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Arti tiap simbol: $a_x, a_y, a_z$ = komponen $\vec{a}$ ; $b_x, b_y, b_z$ = komponen $\vec{b}$ sepanjang sumbu yang sama. Hasilnya bilangan, tanpa satuan vektor.

Rumus komponen dan rumus besar-sudut memberi hasil yang sama — keduanya hanya dua jalan menuju perkalian titik yang identik. Mainkan kanvas berikut: seret ujung kedua vektor, dan bandingkan nilai $a_x b_x + a_y b_y$ dengan $ab\cos\theta$ .

Aplikasi: usaha = perkalian titik gaya dan perpindahan

Penerapan paling penting perkalian titik di fisika adalah usaha. Saat sebuah gaya $\vec{F}$ menggeser benda sejauh perpindahan $\vec{s}$ , usahanya $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs\cos\theta$ . Hanya komponen gaya searah perpindahan yang benar-benar “menyumbang” kerja; gaya tegak lurus perpindahan tidak melakukan usaha.

Seret arah gaya dorong pada kanvas berikut, dan amati bagaimana usaha membesar saat gaya searah gerak, nol saat tegak lurus, dan negatif saat melawan gerak.

Atom vektor ini sendiri tidak termasuk kerangka TKA Fisika (kerangka 045/H/AN/2025 memuat elemen kinematika-dinamika dll.). Namun perkalian titik adalah keterampilan yang dipakai berulang di soal usaha-energi (elemen dinamika) dan medan listrik. Kuasai dulu hasil titik di sini, dan soal-soal itu kelak jadi ringan.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j}$ dan $\vec{b} = -1\hat{i} + 4\hat{j}$ (di bidang xy). (a) Hitung $\vec{a} \cdot \vec{b}$ lewat komponen. (b) Hitung besar masing-masing vektor, lalu tentukan sudut antara keduanya.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = (3)(-1) + (2)(4) = -3 + 8 = 5$ .

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ . $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$ .

$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{5}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{17}} = \dfrac{5}{\sqrt{221}} \approx \dfrac{5}{14{,}87} \approx 0{,}336$ . Maka $\theta = \arccos(0{,}336) \approx 70{,}4^\circ$ (lancip — sesuai hasil titik positif).

Jebakan: tertukar antara $\cos\theta$ (titik) dan $\sin\theta$ (silang). Yang benar: perkalian titik pakai $\cos\theta$ ( $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\theta$ ), perkalian silang pakai $\sin\theta$ ( $|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta$ ). Selain itu, hasil titik = skalar, hasil silang = vektor.

Jebakan: menganggap perkalian titik selalu positif. Yang benar: tanda hasil titik ditentukan $\cos\theta$ — positif untuk sudut lancip, nol untuk tegak lurus, dan negatif untuk sudut tumpul. Usaha pun bisa negatif bila gaya melawan gerak.

Jebakan: lupa bahwa vektor tegak lurus memiliki hasil titik nol — lalu menyangka dua vektor “tidak berhubungan” berarti hasil titik tak terdefinisi. Yang benar: hasil titik dua vektor tegak lurus pasti nol; inilah cara paling cepat memeriksa tegak lurus tanpa mengukur sudut.

Perkalian titik $\vec{a} \cdot \vec{b}$ menghasilkan bilangan (skalar), bukan vektor.
Rumus besar-sudut: $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\theta$ .
Rumus komponen: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ .
Tanda ditentukan $\cos\theta$ : positif (lancip), nol (tegak lurus), negatif (tumpul).
Aplikasi: usaha $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs\cos\theta$ ; vektor tegak lurus iff hasil titiknya nol.