Langsung ke isi
Lyra
Fisika · Kelas 11–12 · Fase F · 8 menit baca

Perkalian Silang (Cross Product) Vektor

Setelah ini kamu bisa menghitung besar perkalian silang dua vektor, menentukan arahnya lewat kaidah tangan kanan, dan memaknainya sebagai luas jajargenjang.

Membuka baut yang berkarat biasanya susah, tapi kalau kamu pakai kunci yang gagangnya lebih panjang dan dorong tegak lurus terhadap gagang, baut itu mudah terputar. Mengapa? Yang membuat baut berputar bukan hanya besar gaya, tetapi arahnya terhadap lengan — dan perkalian silang adalah operasi vektor yang secara matematis menangkap hal itu. Hasilnya bukan bilangan, melainkan vektor baru yang arahnya menunjukkan “ke mana” efek memutar terjadi. Perkalian silang juga bekerja di gaya magnet, momentum sudut, dan banyak lagi. Seret ujung dua vektor di bawah dan saksikan vektor hasil silangnya muncul.

Seret ujung vektor a dan b, dan amati vektor hasil silang a silang b yang muncul tegak lurus keduanya.

Hasil silang adalah vektor, bukan bilangan

Saat kamu menjumlahkan vektor atau mengalikannya dengan skalar, hasilnya tetap vektor. Tetapi perkalian antar vektor sendiri punya dua versi yang berbeda. Yang pertama, perkalian titik (dot product), menghasilkan bilangan skalar. Yang kedua, perkalian silang (cross product), menghasilkan vektor baru — dan vektor inilah yang membuatnya begitu penting di fisika (torsi, gaya magnet, momentum sudut).

Perkalian silang (cross product) dua vektor a⃗\vec{a} dan b⃗\vec{b} menghasilkan vektor baru a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} yang besarnya ∣a⃗×b⃗∣=absin⁡θ|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta (luas jajargenjang yang dibentuk kedua vektor) dan arahnya tegak lurus bidang yang memuat a⃗\vec{a} dan b⃗\vec{b}, dengan arah ditentukan kaidah tangan kanan.

Bayangkan a⃗\vec{a} dan b⃗\vec{b} sebagai dua bilah kayu yang dipaku di satu titik. Keduanya membentuk sebidang jajargenjang (atau dekat-dekatnya). Luas jajargenjang itulah besar hasil silang. Arahnya? Tancapkan paku tegak lurus permukaan jajargenjang — ke sinilah vektor hasil silang menunjuk. Kaidah tangan kanan hanya menentukan ke arah mana (atas atau bawah) paku itu menancap.

Besar: absin⁡θab\sin\theta sebagai luas jajargenjang

Besar hasil silang bukan sekadar perkalian panjang kedua vektor. Sudut θ\theta di antaranya menentukan seberapa “maksimal” hasilnya: bila kedua vektor sejajar (θ=0\theta = 0), jajargenjang menipis menjadi garis dan luasnya nol; bila tegak lurus (θ=90∘\theta = 90^\circ), luasnya maksimal =ab= ab.

∣a⃗×b⃗∣=a b sin⁡θ|\vec{a} \times \vec{b}| = a\,b\,\sin\theta

Arti tiap simbol: a=∣a⃗∣a = |\vec{a}|, b=∣b⃗∣b = |\vec{b}| = besar kedua vektor; θ\theta = sudut di antara a⃗\vec{a} dan b⃗\vec{b} (0≤θ≤180∘0 \le \theta \le 180^\circ). Karena sin⁡θ≤1\sin\theta \le 1, hasil silang paling besar saat θ=90∘\theta = 90^\circ dan nol saat sejajar.

Mainkan kanvas berikut: seret titik-titik jajargenjang, dan bacalah luasnya yang persis sama dengan besar hasil silang.

Arah: kaidah tangan kanan

Hal yang membedakan hasil silang dari perkalian titik adalah arah. Vektor hasil a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} selalu tegak lurus bidang yang memuat a⃗\vec{a} dan b⃗\vec{b}, tetapi ada dua arah tegak lurus (atas atau bawah). Kaidah tangan kanan menentukannya: buka jari tangan kanan sepanjang a⃗\vec{a}, tekuk ke arah b⃗\vec{b}; ibu jari menunjuk ke arah a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}.

Konsekuensi penting: bila urutan ditukar, arahnya berbalik. Jadi a⃗×b⃗=−(b⃗×a⃗)\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) — perkalian silang anti-komutatif (berbeda dari perkalian biasa yang komutatif).

Grafik berikut menampilkan besar hasil silang terhadap sudut antar vektor. Geser slider sudut untuk merasakannya nol di sudut sejajar dan maksimal di tegak lurus.

Menghitung dari komponen: determinan 3×3

Untuk menghitung hasil silang secara kuantitatif, pakai komponen. Bila a⃗=(ax,ay,az)\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) dan b⃗=(bx,by,bz)\vec{b} = (b_x, b_y, b_z), hasil silang dapat dihitung dengan rumus determinan — yang sebetulnya hanya pengembangan tiga perkalian titik berlapis.

a⃗×b⃗=∣i^j^k^axayazbxbybz∣=(aybz−azby)i^−(axbz−azbx)j^+(axby−aybx)k^\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)\hat{i} - (a_x b_z - a_z b_x)\hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k}

Arti tiap simbol: i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} = vektor satuan sepanjang sumbu-x, y, z. Untuk vektor di bidang 2D (az=bz=0a_z = b_z = 0), hasilnya sederhana: a⃗×b⃗=(axby−aybx)k^\vec{a} \times \vec{b} = (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} — hanya komponen z yang tak nol, dan tandanya menentukan arah “keluar” atau “masuk” bidang.

Mainkan kanvas berikut: seret ujung dua vektor di sumbu-x dan y, dan amati komponen hasil silangnya — selalu sepanjang sumbu-z (tegas lurus bidang).

Meskipun atom vektor ini sendiri tidak termasuk kerangka TKA Fisika (kerangka 045/H/AN/2025 memuat elemen kinematika-dinamika dll.), perkalian silang adalah keterampilan yang dipakai berulang di soal fisika kelas 12: torsi (τ⃗=r⃗×F⃗\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}), gaya magnet (F⃗=qv⃗×B⃗\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}), momentum sudut (L⃗=r⃗×p⃗\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}). Kuasai dulu hasil silang di sini, dan soal dinamika rotasi serta kemagnetan kelak jauh lebih ringan.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui a⃗=3i^+2j^\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} dan b⃗=−i^+4j^\vec{b} = -\hat{i} + 4\hat{j} (keduanya di bidang xy). (a) Hitung besar masing-masing vektor. (b) Hitung a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}. (c) Berapa luas jajargenjang yang dibentuk kedua vektor?

∣a⃗∣=32+22=9+4=13≈3,61|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61. ∣b⃗∣=(−1)2+42=1+16=17≈4,12|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12.

Karena kedua vektor di bidang xy (az=bz=0a_z = b_z = 0), a⃗×b⃗=(axby−aybx)k^=(3⋅4−2⋅(−1))k^=(12+2)k^=14k^\vec{a} \times \vec{b} = (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} = (3 \cdot 4 - 2 \cdot (-1))\hat{k} = (12 + 2)\hat{k} = 14\hat{k}.

Hasil a⃗×b⃗=14k^\vec{a} \times \vec{b} = 14\hat{k}: arahnya +k^+\hat{k} (keluar bidang, sesuai kaidah tangan kanan). Besarnya ∣a⃗×b⃗∣=14|\vec{a} \times \vec{b}| = 14. Luas jajargenjang yang dibentuk kedua vektor = besar hasil silang = 14 satuan luas.

Jebakan: tertukar antara sin⁡θ\sin\theta (silang) dan cos⁡θ\cos\theta (titik). Yang benar: perkalian silang pakai sin⁡θ\sin\theta (∣a⃗×b⃗∣=absin⁡θ|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta), perkalian titik pakai cos⁡θ\cos\theta (a⃗⋅b⃗=abcos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = ab\cos\theta). Selain itu, hasil titik = skalar, hasil silang = vektor.

Jebakan: menganggap perkalian silang komutatif seperti perkalian biasa. Yang benar: silang anti-komutatif — a⃗×b⃗=−(b⃗×a⃗)\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}). Tukar urutan vektor, tukar arah hasilnya (atas jadi bawah). Besarnya tetap sama; hanya arah yang berbalik.

Jebakan: lupa bahwa hasil silang dua vektor di bidang 2D selalu sepanjang sumbu-z. Yang benar: untuk a⃗\vec{a} dan b⃗\vec{b} di bidang xy, a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} hanya punya komponen z (=axby−aybx= a_x b_y - a_y b_x), tegak lurus bidang. Tanda positif = keluar bidang, negatif = masuk bidang — ditentukan kaidah tangan kanan.

  • Perkalian silang a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} menghasilkan vektor baru, bukan skalar.
  • Besar: ∣a⃗×b⃗∣=absin⁡θ|\vec{a} \times \vec{b}| = ab\sin\theta = luas jajargenjang yang dibentuk kedua vektor.
  • Arah: tegak lurus bidang a⃗\vec{a}-b⃗\vec{b}, ditentukan kaidah tangan kanan.
  • Anti-komutatif: a⃗×b⃗=−(b⃗×a⃗)\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}); tukar urutan, tukar arah.
  • Vektor 2D: hasil silang hanya komponen-z =axby−aybx= a_x b_y - a_y b_x; silang = 0 bila sejajar.
  • Aplikasi: torsi (r⃗×F⃗\vec{r} \times \vec{F}), gaya magnet (qv⃗×B⃗q\vec{v} \times \vec{B}), momentum sudut (r⃗×p⃗\vec{r} \times \vec{p}).