Momentum Sudut & Kekekalan — Fisika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung momentum sudut $L = I\omega$ , menjelaskan kekekalannya saat torsi luar nol, dan menerapkannya saat momen inersia berubah.

Penari es berputar dengan lengan direntangkan — lambat. Lalu ia menarik lengan ke dada, dan tiba-tiba berputar sangat cepat. Tidak ada gaya dorong tambahan; tidak ada yang “mempercepat” dia. Apa sih yang terjadi? Rahasianya ada pada sebuah besaran yang nilainya tidak berubah selama putaran: momentum sudut. Saat ia menarik lengannya, momen inersia berubah — dan supaya momentum sudut tetap sama, kecepatan sudutnya harus berubah kompensasi. Coba lihat sendiri di bawah.

Seret titik-titik lengan penari menjauh dan mendekat poros, lalu amati kecepatan sudut berubah kompensasi menjaga L tetap.

Momentum sudut: momentum versi rotasi

Pada gerak translasi, momentum linier $p = mv$ mengukur “seberapa banyak gerak” sebuah benda. Pada gerak rotasi, padanannya adalah momentum sudut $L$ . Untuk benda tegar yang berputar dengan momen inersia $I$ dan kecepatan sudut $\omega$ , momentum sudutnya adalah hasil kali keduanya. Inilah ukuran “seberapa banyak putaran” yang dimiliki sebuah benda.

$L = I\,\omega$

Arti tiap simbol: $L$ = momentum sudut (kg·m²/s); $I$ = momen inersia terhadap poros (kg·m²); $\omega$ = kecepatan sudut (rad/s). Arah $L$ sepanjang sumbu putar, mengikuti aturan tangan kanan.

Momentum sudut $L$ adalah ukuran “jumlah putaran” sebuah benda terhadap suatu poros. Untuk benda tegar, $L = I\omega$ ; untuk partikel bermassa $m$ bergerak laju $v$ tegak lurus terhadap jarak $r$ dari poros, $L = mvr$ .

Bayangkan momentum sudut sebagai “kening berputar” sebuah benda. Benda besar yang berputar lambat bisa punya momentum sudut sama dengan benda kecil yang berputar cepat — seperti truk yang melaju lambat punya momentum linier sama dengan motor yang melaju kencang. Yang menentukan “jumlah gerak” bukan satu faktor, melainkan hasil kalinya.

Kekekalan momentum sudut

Hukum kekekalan momentum sudut menyatakan: bila resultan torsi luar pada sebuah sistem nol, maka momentum sudut total sistem itu tetap konstan. Pada penari es, gaya internal menarik lengan mendekat poros — ini bukan torsi luar (sepanjang sumbu putar), sehingga $L$ sepanjang sumbu itu kekal.

$L_i = L_f \;\Rightarrow\; I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f$

Arti tiap simbol: $I_i$ , $\omega_i$ = momen inersia dan kecepatan sudut mula-mula; $I_f$ , $\omega_f$ = momen inersia dan kecepatan sudut akhir. Bila $I$ berubah, $\omega$ berubah kompensasi sehingga hasil kali keduanya tetap.

Dari sini langsung terbaca: bila $I$ mengecil (lengan ditarik mendekat poros), $\omega$ membesar — penari berputar makin cepat. Sebaliknya, bila $I$ membesar (lengan direntangkan), $\omega$ mengecil — putaran melambat. Pada kurva di bawah, untuk $L$ konstan, kurva $\omega$ terhadap $I$ berbentuk hiperbola — kecepatan sudut naik tajam saat $I$ mengecil.

Mengubah I: sebaran massa terhadap poros

Mengapa menarik lengan mengubah momen inersia? Karena $I$ bergantung pada kuadrat jarak massa ke poros: $I = \sum m_i r_i^2$ . Menarik lengan mendekat poros membuat $r$ mengecil, sehingga $r^2$ mengecil jauh lebih cepat — dan $I$ turun drastis. Inilah mengapa gerakan kecil menarik lengan memberi efek besar pada kecepatan putar.

Pada kanvas di bawah, dua konfigurasi massa terhadap poros bisa dibandingkan: massa terpusat dekat poros (I kecil) versus massa tersebar jauh dari poros (I besar). Seret titik-titik dan rasakan bagaimana I berubah terhadap posisi.

Energi saat L kekal: dari mana datangnya?

Jika $L$ kekal dan $I$ mengecil, $\omega$ membesar — itu berarti energi kinetik rotasi $E_k = \tfrac{1}{2} I \omega^2$ juga berubah. Substitusi $\omega = L/I$ : $E_k = L^2/(2I)$ . Saat $I$ mengecil, $E_k$ membesar. Dari mana energi ini datang? Dari usaha internal — otot penari melakukan usaha untuk menarik lengan mendekati poros (melawan gaya sentrifugal). Energi itu berubah menjadi energi kinetik rotasi tambahan.

Inilah jebakan berpikir yang sering muncul: “L kekal, berarti energi juga kekal?” Tidak. Momentum sudut kekal bukan berarti energi kinetik kekal. Menarik lengan butuh usaha otot; itulah sumber energi yang membuat putaran makin cepat. Kekekalan L dan kekekalan energi adalah dua hukum terpisah.

Pada kurva di bawah, untuk $L$ konstan, energi kinetik rotasi $E_k = L^2/(2I)$ membesar saat $I$ mengecil. Ini menjelaskan mengapa “menarik lengan” butuh kerja otot — energi kinetik tambahan harus datang dari suatu tempat.

Momentum sudut partikel: L = mvr

Untuk partikel tunggal bermassa $m$ bergerak dengan laju $v$ pada jarak tegak lurus $r$ dari sebuah poros (atau titik acuan), momentum sudutnya adalah $L = mvr$ . Bentuk ini menjelaskan, misalnya, planet mengorbit matahari: saat planet mendekati matahari (perihelion), $r$ kecil sehingga $v$ harus besar — dan sebaliknya. Total $L$ kekal karena gaya gravitasi tak memberi torsi terhadap pusat matahari.

Pada kurva di bawah, untuk $L$ konstan, laju partikel $v = L/(mr)$ berbentuk hiperbola terhadap $r$ — dekat poros lajunya tinggi, jauh dari poros lajunya rendah.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Seorang penari es berputar dengan lengan direntang sehingga momen inersianya $I_i = 4$ kg·m² dan kecepatan sudut $\omega_i = 3$ rad/s. Saat ia menarik lengan, momen inersianya menjadi $I_f = 1,5$ kg·m². (a) Berapa kecepatan sudut akhirnya? (b) Berapa energi kinetik rotasi mula-mula dan akhirnya?

$L = I_i\,\omega_i = 4 \times 3 = 12$ kg·m²/s. Karena tak ada torsi luar, $L$ kekal.

$I_f\,\omega_f = L \Rightarrow \omega_f = L/I_f = 12/1{,}5 = 8$ rad/s. Penari kini berputar 8 rad/s — lebih cepat dari 3 rad/s semula.

$E_{k,i} = \tfrac{1}{2} I_i \omega_i^2 = \tfrac{1}{2} \times 4 \times 9 = 18$ J. $E_{k,f} = \tfrac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \tfrac{1}{2} \times 1{,}5 \times 64 = 48$ J. Energi bertambah 30 J — berasal dari usaha otot menarik lengan mendekat poros.

Jebakan: menyamakan kekekalan momentum sudut dengan kekekalan energi kinetik. Yang benar: keduanya terpisah. Saat penari menarik lengan, L kekal tetapi energi kinetik rotasi justru naik — energi tambahan berasal dari usaha otot. Kekekalan L bukan jaminan kekalnya energi.

Jebakan: mengira kecepatan sudut $\omega$ selalu konstan saat tak ada torsi luar. Yang benar: yang kekal adalah $L = I\omega$ , bukan $\omega$ sendiri. Bila $I$ berubah (massa mendekat/menjauh poros), $\omega$ ikut berubah kompensasi menjaga L.

Jebakan: keliru menyimpulkan arah perubahan $\omega$ . Yang benar: $\omega$ berbanding terbalik dengan $I$ (untuk L konstan). $I$ mengecil → $\omega$ membesar; $I$ membesar → $\omega$ mengecil. Karena $I \propto r^2$ , perubahan kecil jari-jari memberi efek besar pada $\omega$ .

Momentum sudut benda tegar: $L = I\omega$ (kg·m²/s).
Untuk partikel tunggal: $L = mvr$ ( $r$ jarak tegak lurus ke poros).
Kekekalan: bila resultan torsi luar nol, $L_i = L_f$ sehingga $I_i\omega_i = I_f\omega_f$ .
$I$ mengecil (lengan ditekuk) → $\omega$ membesar; $I$ membesar → $\omega$ mengecil.
Energi kinetik rotasi $E_k = L^2/(2I)$ — saat L kekal, $E_k$ tetap berubah; sumbernya usaha internal.