Hukum Kepler & Gerak Satelit — Fisika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menerapkan tiga hukum Kepler pada gerak planet dan satelit, menghitung periode orbit lewat $T^2 \propto r^3$ , dan menjelaskan syarat orbit geostasioner.

Empat ratus tahun lalu Johannes Kepler, dari catatan observasi Tycho Brahe, menemukan pola yang mencengangkan: rasio kuadrat periode dan pangkat tiga jarak orbit planet selalu sama. Newton belakangan membongkar mengapa — semuanya dari $F = GMm/r^2$ dan gerak melingkar. Pola yang sama mengikat bulan ke bumi, bumi ke matahari, dan satelit GPS ke bumi. Geser slider di bawah dan saksikan sendiri pola $T^2 \propto r^3$ .

Geser slider jari-jari orbit, lalu amati periode yang membesar cepat mengikuti akar pangkat tiga.

Tiga hukum Kepler dalam satu napas

Kepler menyusun tiga hukum dari data planet, tanpa tahu rumus gravitasi. (1) Setiap planet bergerak pada orbit elips dengan matahari di salah satu fokus. (2) Garis penghubung planet-matahari menyapu luas yang sama dalam waktu yang sama. (3) Kuadrat periode berbanding lurus dengan pangkat tiga jarak rerata: $T^2 \propto r^3$ .

Orbit elips mengitari benda pusat yang berada di salah satu titik fokus elips, bukan di pusat geometrisnya. Jarak planet ke matahari membesar-mengecil sepanjang satu putaran; titik terdekat disebut perihelion, terjauh aphelion.

Newton kemudian menurunkan ketiganya dari hukum gravitasi universal dan gerak melingkar. Untuk orbit yang nyaris lingkaran (banyak planet dan satelit begini), kita pakai pendekatan lingkaran — jari-jari $r$ tetap dan gaya gravitasi menjadi gaya sentripetal.

Hukum III: T² berbanding r³

Inilah hukum yang paling sering diuji. Dari gaya gravitasi = gaya sentripetal, $GMm/r^2 = m\,\omega^2 r$ , lalu substitusi $\omega = 2\pi/T$ , kita dapat periode orbit:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\, r^3$

Arti tiap simbol: $T$ = periode orbit (sekon), $r$ = jari-jari orbit (m), $G$ = konstanta gravitasi universal, $M$ = massa benda pusat (kg). Bentuk kanan adalah Hukum III Kepler: $T^2 \propto r^3$ .

Lebih jauh dari matahari, planet tidak hanya menempuh lintasan lebih panjang — ia juga bergerak lebih lambat. Keduanya memperbesar periode. Maka periode tumbuh lebih cepat dari sekadar linier: kuadratnya tumbuh linier dengan pangkat tiga jarak. Mars yang jauhnya 1,5 kali Bumi punya periode 1,84 tahun, bukan 1,5.

Pada grafik di bawah, sumbu horizontal adalah $r^3$ dan sumbu vertikal $T^2$ — keduanya membuat garis lurus melalui pusat dengan kemiringan $4\pi^2/(GM)$ . Geser slider massa pusat dan amati kemiringan yang berubah: matahari berat membuat kemiringan kecil (periode pendah untuk r yang sama), planet kerdil membuat kemiringan besar.

Kecepatan orbit: lebih jauh lebih lambat

Dari $GMm/r^2 = mv^2/r$ , dapat dihapus $m$ dan satu $r$ , sehingga kecepatan linear orbit melingkar:

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Arti tiap simbol: $v$ = kecepatan linear satelit (m/s), $G$ = konstanta gravitasi, $M$ = massa benda pusat, $r$ = jari-jari orbit. Semakin jauh orbit, semakin kecil kecepatan linear — berbanding akar terbalik dengan $r$ .

Inilah yang menjelaskan Hukum II Kepler pada orbit elips: di perihelion (dekat) satelit melaju cepat, di aphelion (jauh) melambat — sehingga luas sapuan tetap sama per satuan waktu. Pada grafik di bawah, geser slider jari-jari dan amati kecepatan orbit yang menurun mengikuti $1/\sqrt{r}$ .

Hukum II: sapuan luas sama per waktu

Hukum kedua paling elegan: garis dari matahari ke planet menyapu luas yang sama dalam waktu yang sama, tak peduli di titik mana pun orbit. Akibatnya planet bergerak lebih cepat saat dekat matahari (perihelion) dan lebih lambat saat jauh (aphelion). Pada kanvas di bawah, seret titik-titik elips untuk membentuk lintasan lebih atau kurang lonjong, dan ingat: dua juring dengan warna sama menyatakan luas yang sama walau bentuknya beda.

Satelit geostasioner

Satelit geostasioner tampak diam di atas satu titik khatulistiwa bumi — periode orbitnya sama dengan periode rotasi bumi, yaitu satu hari sideris ( $T \approx 86.164$ s). Dari Hukum III Kepler, periode itu memaksakan jari-jari orbit tertentu:

Topik Hukum Kepler dan satelit termasuk unit gravitasi (prasyarat wajib untuk dinamika dan listrik statis, kerangka TKA 045/H/AN/2025). Jebakan paling sering: (1) lupa bahwa $r$ diukur dari pusat benda pusat, jadi untuk satelit di ketinggian $h$ , $r = R + h$ ; (2) keliru memakai $T \propto r^{3/2}$ sebagai $T \propto r$ ; (3) mengira satelit geostasioner “tidak bergerak” — ia bergerak, hanya saja dengan periode yang sama dengan rotasi bumi. Untuk geostasioner bumi, $r \approx 4,22 \times 10^7$ m ( $h \approx 35.786$ km di atas permukaan).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah satelit mengorbit bumi dengan jari-jari orbit $r = 2 \times 10^7$ m dari pusat bumi. Massa bumi $M = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ N·m²/kg². (a) Berapa kecepatan orbitnya? (b) Berapa periodenya? (c) Tinggi orbit di atas permukaan bumi (jari-jari bumi $R = 6{,}37 \times 10^6$ m)?

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{(6{,}674 \times 10^{-11})(5{,}97 \times 10^{24}) / (2 \times 10^7)}$ . Hitung $GM \approx 3{,}98 \times 10^{14}$ . $GM/r = 3{,}98 \times 10^{14} / 2 \times 10^7 = 1{,}99 \times 10^7$ . $v = \sqrt{1{,}99 \times 10^7} \approx 4.460$ m/s.

$T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)} = 2\pi\sqrt{(2 \times 10^7)^3 / (3{,}98 \times 10^{14})}$ . $r^3 = 8 \times 10^{21}$ . $r^3/(GM) = 8 \times 10^{21} / 3{,}98 \times 10^{14} \approx 2{,}01 \times 10^7$ . $\sqrt{} \approx 4.483$ . $T = 2\pi \times 4.483 \approx 28.170$ s $\approx 7{,}8$ jam.

$h = r - R = 2 \times 10^7 - 6{,}37 \times 10^6 = 1{,}363 \times 10^7$ m $\approx 13.630$ km di atas permukaan bumi. Jadi satelit itu mengorbit pada ketinggian sekitar 13.630 km, dengan kecepatan 4.460 m/s dan periode 7,8 jam.

Jebakan: menyatakan $T \propto r$ (linear). Yang benar: $T \propto r^{3/2}$ atau $T^2 \propto r^3$ . Jari-jari dua kali membuat periode $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ kali, bukan dua kali.

Jebakan: memakai tinggi $h$ di atas permukaan sebagai $r$ dalam rumus Kepler. Yang benar: $r$ adalah jarak dari pusat benda pusat. Untuk satelit di ketinggian $h$ , $r = R + h$ , dengan $R$ jari-jari bumi.

Jebakan: mengira satelit geostasioner “tidak bergerak”. Yang benar: satelit itu bergerak cepat, hanya saja periode orbitnya sinkron dengan rotasi bumi (satu hari sideris), sehingga tampak diam di atas satu titik khatulistiwa.

Hukum I: orbit elips, benda pusat di salah satu titik fokus.
Hukum II: luas sapuan sama per satuan waktu — cepat di perihelion, lambat di aphelion.
Hukum III: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\,r^3$ , yaitu $T^2 \propto r^3$ atau $T \propto r^{3/2}$ .
Kecepatan orbit melingkar $v = \sqrt{GM/r}$ — akar terbalik terhadap jari-jari.
$r$ diukur dari pusat benda pusat; untuk satelit, $r = R + h$ .
Geostasioner: periode = satu hari sideris, $r \approx 4{,}22 \times 10^7$ m dari pusat bumi.