Periode Bandul Sederhana — Fisika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung periode bandul sederhana dengan $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , dan menjelaskan mengapa hanya panjang tali dan gravitasi yang menentukan kelajuan ayunan.

Jam dinding kuno berdetak teratur digerakkan oleh bandul — bola logam di ujung tali yang berayun maju-mundur. Anehnya, baik bola itu ringan dari plastik maupun berat dari timah, ayunannya tetap sama cepat asalkan panjang talinya sama. Gantungkan bandul yang sama di Bumi dan di Bulan, ayunannya melambat di Bulan. Dua hal inilah — panjang tali dan gravitasi — yang mengatur periode ayunan. Coba lihat sendiri di bawah.

Geser panjang tali L pada bandul, lalu amati kurva periode yang naik mengikuti akar L.

Bandul sederhana dan periode ayunannya

Bandul sederhana adalah sebuah benda kecil (dianggap titik) bermassa $m$ yang digantungkan pada tali panjang $L$ yang ringan dan tak elastis. Bila disimpangkan sudut kecil lalu dilepas, ia berayun maju-mundur secara periodik. Inilah salah satu osilator paling setia di alam — selama simpangan sudutnya kecil (di bawah sekitar $15°$ ), periode ayunannya sangat teratur.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$

Arti tiap simbol: $T$ = periode ayunan (s); $L$ = panjang tali (m); $g$ = percepatan gravitasi (m/s², di Bumi $\approx 9{,}8$ ); $f$ = frekuensi (Hz). Faktor $2\pi$ muncul karena satu ayunan penuh = satu siklus sinus.

Dua fakta penting. Pertama, periode tidak bergantung pada amplitudo sudut (selama sudut kecil) — sifat isokron, sama seperti pegas. Kedua, periode tidak bergantung pada massa bandul — inilah temuan paling mengejutkan yang sudah kamu lihat di hook.

Efek panjang tali: tali panjang berayun lebih lambat

Memperpanjang tali memperbesar jarak yang ditempuh bandul dalam satu ayunan, sekaligus mengurangi komponen gaya pemulih per satuan panjang. Akibatnya, ayunan makin lambat. Karena $T \propto \sqrt{L}$ , menggandakan panjang tali membuat periode membesar $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ kali — bukan dua kali.

Bandul jam dinding kuno berdetak satu kali per detik dengan tali kira-kira 0,25 m (periodenya $T \approx 1$ s). Pindahkan ke tali 1 m — periode jadi 2 sekon. Itulah sebab jam dinding perlu disetel panjang talinya agar tepat berdetak satu detik.

Itulah kurva di widget-utama tadi — naik mengikuti bentuk akar.

Efek gravitasi: di Bulan berayun lebih lambat

Gravitasi yang lebih kuat menarik bandul lebih cepat kembali ke titik setimbang, sehingga ayunan menjadi lebih cepat (periode lebih pendek). Karena $T \propto 1/\sqrt{g}$ , bila $g$ mengecil, periode membesar. Di Bulan ( $g \approx 1{,}6$ m/s², seperenam Bumi), periode bandul yang sama menjadi $\sqrt{6} \approx 2{,}45$ kali lebih panjang — bandul Bumi yang berayun satu detik menjadi 2,45 detik di Bulan. Geser slider g pada grafik di bawah dan saksikan periode membesar saat g mengecil.

Geometri ayunan: dari mana rumus akar muncul

Rumus $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ tidak muncul dari udara — ia lahir dari gaya pemulih bandul. Bila tali disimpangkan sudut $\theta$ kecil, komponen berat yang memulihkan bandul adalah $mg\sin\theta \approx mg\theta$ (pendekatan sudut kecil). Karena percepatan $a = -(g/L)\theta$ , frekuensi sudutnya $\omega = \sqrt{g/L}$ , dan periode $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{L/g}$ .

Perhatikan bagaimana $m$ hilang dari rumus: percepatan $a = -(g/L)\theta$ tidak mengandung $m$ — itulah intuisi mengapa massa tak berpengaruh (sama seperti jatuh bebas, yang juga tak peduli massa). Pada geometri di bawah, geser titik bandul dan amati sudut $\theta$ serta panjang tali $L$ yang menjadi dua peubah utama.

Bandul Bumi vs Bulan: jam yang melambat

Pada grafik di bawah, dua kurva membandingkan T terhadap L di dua gravitasi berbeda: Bumi (atas, periode pendek) dan Bulan (bawah, periode panjang). Untuk panjang tali yang sama, bandul Bulan berayun $\sqrt{6} \approx 2{,}45$ kali lebih lambat. Inilah sebab jam bandul tidak bisa dipindahkan dari Bumi ke Bulan tanpa disetel ulang.

Meskipun atom bandul tidak masuk kerangka TKA Fisika (045/H/AN/2025) secara eksplisit, rumus $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ adalah prasyarat konsep untuk soal yang menanyakan pengaruh memperbesar panjang tali, mengganti planet, atau menghitung $g$ lokal dari periode ayunan (eksperimen bandul Kater). Ingat: periode bergantung $\sqrt{L/g}$ , bukan $L/g$ langsung — selisih akar sering jadi jebakan opsi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah bandul sederhana memiliki tali sepanjang 0,9 m, digantung di tempat dengan $g = 10$ m/s². Ambil $\pi^2 \approx 10$ . (a) Berapa periode dan frekuensinya? (b) Berapa getaran terjadi dalam 1 menit?

$T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{0{,}9/10} = 2\pi\sqrt{0{,}09} = 2\pi \cdot 0{,}3 = 0{,}6\pi$ s.

$T = 0{,}6\pi \approx 0{,}6 \times 3{,}14 \approx 1{,}9$ s. Frekuensi $f = 1/T \approx 0{,}53$ Hz. (Pendekatan: $T^2 = 4\pi^2 L/g = 40 \times 0{,}09 = 3{,}6$ , $T \approx 1{,}9$ s.)

Banyak getaran $= t/T = 60/1{,}9 \approx 32$ getaran dalam 1 menit. (Tali 0,9 m di Bumi = sekitar 32 denyut per menit, dekat detak jantung istirahat.)

Jebakan: mengira periode bandul bergantung pada massa bandul. Yang benar: periode $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ tidak mengandung $m$ — bandul timah dan bandul plastik berayun sama cepat asalkan panjang talinya sama. Ini konsekuensi dari $a = -(g/L)\theta$ yang juga tak mengandung $m$ (sama seperti jatuh bebas).

Jebakan: mengira $T$ proporsional $L/g$ langsung (bukan akarnya). Yang benar: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , jadi $T$ proporsional $\sqrt{L/g}$ . Menggandakan $L$ membuat $T$ menjadi $\sqrt{2}$ kali, bukan dua kali — selisih akar ini paling sering jebakan opsi.

Jebakan: memakai rumus bandul untuk simpangan sudut besar. Yang benar: rumus $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ hanya berlaku untuk simpangan sudut kecil (di bawah sekitar $15°$ ), karena menggunakan pendekatan $\sin\theta \approx \theta$ . Untuk sudut besar, periode sedikit lebih panjang dari rumus ini.

Periode bandul sederhana: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ; frekuensi $f = 1/T$ .
Periode tidak bergantung massa bandul maupun amplitudo (untuk sudut kecil).
$T$ tumbuh dengan $\sqrt{L}$ — tali panjang berayun lebih lambat.
$T$ berbanding terbalik $\sqrt{g}$ — gravitasi kecil membuat ayunan lambat (Bulan).
Menggandakan $L$ → $T$ jadi $\sqrt{2}$ ×; pindah Bumi→Bulan → $T$ jadi $\sqrt{6}$ ×.