Dinamika Rotasi (tau = I alfa) — Fisika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menerapkan Hukum II Newton versi rotasi $\tau = I\alpha$ untuk menganalisis percepatan sudut katrol bermassa, roda, dan kincir.

Dalam pelajaran sebelumnya katrol selalu dianggap “ideal” — massanya nol, tak perlu tenaga untuk memutar, dan tegangan tali kedua sisinya sama persis. Katrol sungguhan tidak begitu. Sebuah katrol baja berputar karena tali menarik sisinya — dan memutar benda bermassa butuh torsi. Sebagian gaya berat beban yang digantung habis untuk mempercepat putaran katrol, bukan untuk mempercepat beban turun. Maka percepatan turunnya lebih kecil daripada ramalan katrol ideal. Persamaan yang menyatukan keduanya adalah $\tau = I\alpha$ . Coba lihat sendiri di bawah.

Atur massa kedua beban dan katrol pada sistem Atwood, lalu amati percepatan turun dibandingkan katrol ideal tak bermassa.

Analog rotasi Hukum II Newton

Hukum II Newton translasi berbunyi $F = ma$ — gaya resultan menyebabkan percepatan linier, dengan massa sebagai penolak percepatan. Versi rotasinya berbunyi persis selaras: torsi resultan menyebabkan percepatan sudut, dengan momen inersia sebagai penolaknya.

$\tau = I\alpha$

Arti tiap simbol: $\tau$ = torsi resultan terhadap poros (N·m); $I$ = momen inersia benda terhadap poros (kg·m²); $\alpha$ = percepatan sudut (rad/s²). Persamaan ini adalah kunci dinamika rotasi — analognya $F = ma$ .

Dinamika rotasi mempelajari hubungan antara torsi resultan, momen inersia, dan percepatan sudut sebuah benda berputar, dirumuskan $\tau = I\alpha$ — padanan rotasi dari $F = ma$ .

Tiga besaran ini berkaitan sederhana: percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi resultan, dan berbanding terbalik dengan momen inersia. Torsi ganda membuat percepatan sudut ganda; momen inersia ganda (katrol lebih berat diputar) membuat percepatan sudut tinggal setengah. Inilah mengapa beban di katrol bermassa tidak jatuh sebebas katrol ideal — sebagian “tenaga” torsi terserap untuk mempercepat putaran.

Katrol bermassa: dua tegangan tak sama

Pada katrol ideal (massa nol, $I = 0$ ), persamaan $\tau = I\alpha$ menjadi $0 = 0$ — tidak ada syarat pada tegangan. Maka tegangan tali kedua sisi katrol sama, $T_1 = T_2$ . Tapi pada katrol bermassa, untuk mempercepat putarannya dibutuhkan torsi resultan, yang hanya mungkin bila $T_1 \neq T_2$ .

Lihat dua vektor tegangan pada katrol di kanvas berikut; selisih tegangan inilah yang menghasilkan torsi pemutar.

Selisih tegangan inilah yang membedakan katrol ideal dan katrol bermassa. Pada katrol ideal $T_1 = T_2$ ; pada katrol bermassa, selisih $T_1 - T_2$ dibutuhkan agar $\tau = (T_1 - T_2)R = I\alpha$ .

Lengan torsi pada katrol = jari-jari

Torsi yang memutar katrol dihasilkan oleh tegangan tali yang bekerja tegak lurus di tepi katrol. Karena tali bersinggungan dengan katrol, lengan mome-nya sama dengan jari-jari $R$ . Lihat segitiga di bawah — sisi mendatar merepresentasikan $R$ (lengan momen tegangan).

Karena $\tau = TR$ , katrol berjari-jari besar memberi torsi lebih besar untuk tegangan yang sama — namun momen inersia katrol juga tumbuh dengan $R$ (silinder pejal $I = \tfrac{1}{2}MR^2$ ), sehingga efek akhirnya pada percepatan sudut harus dihitung, bukan ditebak.

Membedah sistem katrol bermassa

Untuk sistem katrol bermassa dengan dua beban $m_1$ dan $m_2$ ( $m_2 > m_1$ ) yang dihubungkan tali tak elastis di atas katrol berbentuk silinder pejal bermassa $M$ dan jari-jari $R$ , ada tiga persamaan yang diturunkan dari Hukum II Newton (dua translasi + satu rotasi):

$m_2 g - T_2 = m_2 a, \quad T_1 - m_1 g = m_1 a, \quad (T_2 - T_1)R = I\alpha = \tfrac{1}{2}MR^2 \cdot \frac{a}{R}$

Arti tiap simbol: $T_1, T_2$ = tegangan tali sisi ringan dan berat (N); $a$ = percepatan linier beban = percepatan tali (m/s²); $\alpha = a/R$ = percepatan sudut katrol; $M, R$ = massa dan jari-jari katrol; $I = \tfrac{1}{2}MR^2$ = momen inersia silinder pejal.

Menggabungkan ketiganya menghasilkan percepatan sistem: $a = \dfrac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}M}$ . Perhatikan suku $\tfrac{1}{2}M$ di penyebut — itulah kontribusi katrol bermassa yang membuat percepatan lebih kecil daripada katrol ideal ( $M = 0$ ).

Lihat bagaimana $\alpha$ berubah saat torsi digeser (dengan I tetap) di kanvas berikut — hubungannya linier.

Dinamika rotasi masuk kerangka TKA Fisika (045/H/AN/2025) lewat delta D2 — sub-elemen dinamika rotasi di elemen dinamika. Soal tipikal: sistem katrol bermassa, roda yang dipercepat torsi konstan, atau kincir yang mulai berputar. Trik hemat waktu: jangan pecah persamaan satu per satu — gabungkan tiga persamaan (dua translasi + satu rotasi) lalu selesaikan dalam satu langkah untuk percepatan $a$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sistem katrol Atwood memiliki dua beban $m_1 = 2$ kg dan $m_2 = 3$ kg dihubungkan tali tak bermassa di atas katrol berbentuk silinder pejal bermassa $M = 1$ kg dan jari-jari $R = 0{,}1$ m. Ambil $g = 10$ m/s². Tentukan percepatan turun beban $m_2$ dan tegangan $T_2$ pada tali sisi berat.

Translasi $m_1$ : $T_1 - m_1 g = m_1 a$ . Translasi $m_2$ : $m_2 g - T_2 = m_2 a$ . Rotasi katrol: $(T_2 - T_1)R = \tfrac{1}{2}MR^2 \cdot (a/R)$ , disederhanakan menjadi $T_2 - T_1 = \tfrac{1}{2}Ma$ .

Substitusi $I = \tfrac{1}{2}MR^2$ : $a = \dfrac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}M} = \dfrac{(3-2)\cdot 10}{2 + 3 + 0{,}5} = \dfrac{10}{5{,}5} \approx 1{,}82$ m/s².

$m_2 g - T_2 = m_2 a \Rightarrow T_2 = m_2(g - a) = 3\cdot(10 - 1{,}82) = 3\cdot 8{,}18 = 24{,}5$ N. (Bandingkan katrol ideal: $a = \tfrac{10}{5} = 2$ m/s², $T_2 = 3\cdot 8 = 24$ N — sedikit lebih besar karena katrol bermassa memperlambat turun.)

Jebakan: menyamakan percepatan sudut $\alpha$ dengan percepatan linier $a$ . Yang benar: $\alpha = a/R$ (bila tali tak slip pada katrol jari-jari $R$ ). Satuan berbeda: $a$ dalam m/s², $\alpha$ dalam rad/s².

Jebakan: menganggap tegangan tali kedua sisi katrol selalu sama. Yang benar: pada katrol ideal (massa nol) $T_1 = T_2$ ; pada katrol bermassa, $T_1 \neq T_2$ karena selisih tegangan memberi torsi resultan untuk memutar katrol.

Jebakan: lupa memasukkan suku momen inersia katrol ke dalam penyebut rumus percepatan. Yang benar: pada katrol silinder pejal, penyebut $a$ berisi $m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}M$ ; suku $\tfrac{1}{2}M$ itulah yang membuat percepatan katrol bermassa lebih kecil daripada katrol ideal.

Dinamika rotasi: $\tau = I\alpha$ — padanan rotasi dari $F = ma$ .
$\alpha$ berbanding lurus $\tau$ , berbanding terbalik $I$ ; satuan $\alpha$ rad/s².
Katrol ideal ( $I=0$ ): $T_1 = T_2$ ; katrol bermassa: $T_1 \neq T_2$ (selisih memberi torsi).
Lengan torsi tegangan tali pada katrol = jari-jari $R$ ; $\tau = TR$ .
Sistem katrol bermassa: $a = \dfrac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+I/R^2}$ ; suku $I/R^2$ memperlambat turun.