Negasi & Pernyataan Majemuk — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa menegasikan pernyataan berkuantor (“semua”/“ada”) dan pernyataan majemuk (“dan”/“atau”/“jika-maka”) dengan aturan kebalikan kuantor dan De Morgan.

“Semua mahasiswa hadir tepat waktu.” Apa negasinya — “tidak ada mahasiswa hadir tepat waktu”? Bukan. Negasi “semua” yang benar adalah “ada yang tidak”, sebuah pernyataan jauh lebih lemah tetapi itulah yang sahih. Banyak jebakan PU berakar pada kesalahan kebalikan kuantor seperti ini. Mari asah kemampuan menegasikan di bawah.

Coba kerjakan tiga butir di bawah; pilih negasi yang sahih untuk tiap kuantor.

Kebalikan kuantor: universal bertukar partikular

Pernyataan berkuantor punya empat bentuk dasar: universal afirmatif (“semua A adalah B”), universal negatif (“tidak ada A yang B”), partikular afirmatif (“ada A yang B”), dan partikular negatif (“ada A yang bukan B”). Aturan kebalikan kuantor: negasi menukar “semua” dengan “ada”, dan menukar kualitas (afirmatif-negatif). Negasi tidak pernah melompat ke ekstrem yang berlawanan total.

Negasi pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar tepat ketika pernyataan aslinya salah, dan sebaliknya. Pada pernyataan berkuantor, negasi menukar kuantor (“semua”↔“ada”) sekaligus kualitas, tanpa melompat ke lawan ekstrem.

Aturan praktis: untuk membantah “semua”, kamu hanya butuh satu contoh penyangkal — “ada yang tidak”. Untuk membantah “ada”, kamu harus menyangkal seluruhnya — “tidak ada satu pun”.

Pernyataan asli	Negasi yang sahih
Semua A adalah B	Ada A yang bukan B
Tidak ada A yang B	Ada A yang B
Ada A yang B	Tidak ada A yang B (semua A bukan B)
Ada A yang bukan B	Semua A adalah B

De Morgan: tukar “dan” dengan “atau”

Untuk pernyataan majemuk, hukum De Morgan mengatur kebalikannya. Negasi ” $p$ dan $q$ ” adalah “(bukan $p$ ) atau (bukan $q$ )” — cukup salah satu salah sudah membatalkan “dan”. Negasi ” $p$ atau $q$ ” adalah “(bukan $p$ ) dan (bukan $q$ )” — keduanya harus salah untuk membatalkan “atau”. Kuncinya: negasi menukar konektor “dan”↔“atau” sekaligus menegasikan tiap bagian.

$\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$ $\neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q$

Arti tiap simbol: $\neg$ = negasi (bukan), $\wedge$ = “dan” (konjungsi), $\vee$ = “atau” (disjungsi inklusif).

Pikirkan “dan” seperti syarat gabungan yang ketat: satu syarat gugur, semuanya gugur — maka negasinya cukup satu “atau”. Sebaliknya, “atau” santai: salah satu cukup, jadi untuk membatalkannya semua syarat harus gugur sekaligus.

Negasi jika-maka

Pernyataan “jika $p$ maka $q$ ” hanya salah ketika $p$ benar tetapi $q$ salah. Maka negasinya adalah ” $p$ dan (bukan $q$ )”. Negasi kondisional bukan kondisional lain, melainkan konjungsi: semua syarat (premis) tetap benar sementara konsekuen dibantah.

Komponen deduktif PU (framework SNPMB) menguji negasi lewat soal “pernyataan yang ekuivalen dengan negasi …” atau “yang membantah pernyataan …”. Skor datang dari memilih kebalikan kuantor atau bentuk De Morgan yang sahih, bukan yang terdengar bertentangan secara umum.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan negasi sahih dari pernyataan: “Semua peserta kursus hadir tepat waktu dan mendapat sertifikat.”

Pernyataan = “semua” + (hadir tepat waktu ∧ mendapat sertifikat). Kuantor universal, isi konjungsi.

Negasi “semua” = “ada”. Mula-mula: “ada peserta yang …” dengan isi masih harus dinegasi.

Negasi (hadir ∧ sertifikat) = tidak hadir ∨ tidak mendapat sertifikat. Hasil akhir: “ada peserta yang tidak hadir tepat waktu atau tidak mendapat sertifikat.”

Jebakan: mengira negasi “semua A adalah B” adalah “tidak ada A yang B”. Yang benar: cukup “ada A yang bukan B” — satu contoh penyangkal sudah cukup, tidak perlu melompat ke ekstrem.

Jebakan: menegasikan “p dan q” dengan “tidak p dan tidak q”. Yang benar: gunakan De Morgan — “tidak p atau tidak q”. Cukup salah satu gugur untuk membatalkan konjungsi.

Jebakan: mengira negasi “jika p maka q” adalah “jika p maka tidak q”. Yang benar: negasinya adalah konjungsi “p dan tidak q”, bukan implikasi lain.

Negasi menukar kuantor: “semua”↔“ada”, tanpa melompat ke lawan ekstrem.
Hukum De Morgan: negasi “dan” = “atau” (tiap bagian dinegasi); negasi “atau” = “dan”.
Negasi “jika p maka q” = “p dan tidak q” (konjungsi, bukan implikasi).
Bantah “semua” dengan satu contoh; bantah “ada” dengan menyangkal seluruhnya.
Di PU, pilih negasi yang sahih secara logika, bukan yang terdengar bertentangan.