Pythagoras dan Jarak dalam Konteks — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa menerapkan teorema Pythagoras untuk soal tangga, layang-layang, dan jarak terpendek pada denah.

Sebuah tangga sepanjang 5 m disandarkan ke dinding, dengan kaki tangga 3 m dari dinding. Sampai ketinggian berapa tangga menyentuh dinding? Banyak yang langsung menulis 3 + 5 = 8, padahal jawabannya 4 — karena tangga, dinding, dan tanah membentuk segitiga siku-siku. Pythagoras adalah jembatan antara tiga sisi segitiga siku-siku, dan soal kontekstual di Penalaran Matematika sering menyamarkannya. Coba lihat bukti visual di bawah.

Coba geser titik sudut segitiga, lalu perhatikan bagaimana luas persegi pada tiap sisi selalu memenuhi a² + b² = c².

Teorema Pythagoras

Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dua sisi siku. Bila $a$ dan $b$ adalah dua sisi siku, dan $c$ sisi miring (hipotenusa, selalu di hadapan sudut siku), maka $a^2 + b^2 = c^2$ . Sisi miring selalu yang terpanjang. Untuk mencari sisi miring: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Untuk mencari sisi siku yang belum diketahui: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .

$a^2 + b^2 = c^2$

Arti tiap simbol: $a, b$ = dua sisi siku (membentuk sudut siku); $c$ = sisi miring (hipotenusa, di hadapan sudut siku, selalu terpanjang).

Tripel Pythagoras yang sering muncul

Beberapa tripel (bilangan bulat yang memenuhi $a^2 + b^2 = c^2$ ) sering muncul di soal: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, dan kelipatannya (6-8-10 = 2×3-4-5). Menghafal tripel ini mempercepat, karena soal biasanya memilih angka yang bulat. Tangga 5 m dengan kaki 3 m → dinding 4 m (tripel 3-4-5).

Tangga dan dinding

Konfigurasi paling lazim: tangga menyandar ke dinding. Tanah, dinding, dan tangga membentuk segitiga siku-siku dengan sudut siku di sudut tanah-dinding. Sisi miring adalah tangga. Geser kedua kaki segitiga pada visual berikut untuk merasakan hubungan ketiga sisi.

Latih tripel acak

Kerjakan generator berikut untuk membakar rumus $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ pada variasi angka.

Atom ini melatih domain “pengukuran dan geometri dalam konteks” kerangka UTBK Penalaran Matematika (snpmb.id/fr). Soal Pythagoras sering menyamarkan segitiga siku-siku lewat cerita tangga, layang-layang, atau denah — kenali sudut sikunya dulu sebelum memasukkan rumus.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah tangga sepanjang 13 m disandarkan ke dinding, dengan kaki tangga 5 m dari dinding. Sampai berapa meter tinggi tangga menyentuh dinding?

Tangga adalah sisi miring $c = 13$ ; kaki ke dinding $= 5$ adalah sisi siku $a$ ; tinggi dinding $b$ yang dicari.

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ . Tangga menyentuh dinding pada ketinggian 12 meter.

Jebakan: menjumlahkan dua sisi untuk mendapat sisi miring. Yang benar: pakai $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; jumlah linear tidak berlaku pada segitiga siku-siku.

Jebakan: salah mengidentifikasi sisi miring. Yang benar: sisi miring selalu di hadapan sudut siku dan terpanjang; jangan tebak dari cerita sebelum menandai sudut siku.

Jebakan: lupa mengakarkan pada akhir. Yang benar: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , jadi setelah menjumlahkan kuadrat, ambil akarnya; $a^2 + b^2$ saja belum menjadi $c$ .

Teorema Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ dengan $c$ = sisi miring (hadapan sudut siku, terpanjang).
Cari sisi miring: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; cari sisi siku: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .
Tripel yang sering muncul: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, dan kelipatannya.
Tangga-dinding-tanah membentuk segitiga siku-siku; sudut siku di sudut tanah-dinding.
Teliti sudut siku dulu sebelum memasukkan rumus; jangan menjumlahkan sisi secara linear.