Pola dan Barisan dalam Konteks — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa mengenali barisan aritmetika dan geometri pada soal cicilan, kursi, dan pembelahan bakteri, lalu memprediksi suku ke-n.

Barisan kursi di aula sering bertambah konstan tiap baris: 6, 8, 10, 12 — itu aritmetika. Tapi populasi bakteri yang membelah jadi dua setiap jam: 1, 2, 4, 8 — itu geometri. Soal Pola di Penalaran Matematika sering menyamarkan jenis barisan lewat cerita. Bila kamu salah tebak jenis, suku ke-n akan jauh meleset. Coba lihat dua kurva di bawah dan rasakan beda pertumbuhannya.

Coba geser jumlah suku, lalu perhatikan bagaimana aritmetika tumbuh rata sementara geometri meroket.

Aritmetika: beda tetap

Barisan aritmetika punya beda tetap $b$ antar suku. Bila $U_1 = 6$ dan $b = 2$ , suku-sukunya $6, 8, 10, 12, 14, \ldots$ . Suku ke- $n$ dirumuskan $U_n = U_1 + (n-1) \cdot b$ . Contoh khas: cicilan tetap, susunan kursi yang bertambah konstan, akumulasi bunga tunggal.

$U_n = a + (n-1)\,b$

Arti tiap simbol: $U_n$ = suku ke- $n$ ; $a$ = suku pertama; $b$ = beda tetap antar suku; $n$ = posisi suku (mulai 1).

Geometri: rasio tetap

Barisan geometri punya rasio tetap $r$ antar suku. Bila $U_1 = 1$ dan $r = 2$ , suku-sukunya $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ . Suku ke- $n$ dirumuskan $U_n = U_1 \cdot r^{n-1}$ . Contoh khas: pembelahan bakteri, bunga majemuk, rantai pesan broadcast yang diteruskan ke dua orang tiap langkah.

Cara membedakan cepat: hitung selisih antar suku — bila tetap, itu aritmetika. Hitung pembagian antar suku — bila tetap, itu geometri. Jangan pakai keduanya sekaligus.

Susunan kursi: aritmetika dalam denah

Aula memiliki baris pertama 6 kursi, dan tiap baris berikutnya bertambah 2 kursi. Baris ke- $n$ memiliki $6 + (n-1) \times 2$ kursi, sehingga baris ke-10 punya $6 + 9 \times 2 = 24$ kursi. Lihat pola itu sebagai batang yang naik rata pada grafik berikut.

Pembelahan bakteri: geometri

Satu bakteri membelah jadi dua tiap 20 menit. Setelah $n$ kali pembelahan, jumlahnya $1 \cdot 2^n$ (atau $2^{n}$ ). Setelah 10 kali pembelahan, ada $2^{10} = 1024$ bakteri. Latih variasi berikut.

Atom ini melatih domain “aljabar dan pola dalam konteks” kerangka UTBK Penalaran Matematika (snpmb.id/fr). Soal pola aritmetika muncul lewat cerita cicilan/kursi; pola geometri lewat cerita populasi dan rantai pesan. Bedakan jenis dulu sebelum memasukkan rumus.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Berapakah suku ke-12?

Pakai $U_n = a + (n-1) \cdot b$ dengan $a = 5$ , $b = 3$ , $n = 12$ .

$U_{12} = 5 + (12-1) \times 3 = 5 + 11 \times 3 = 5 + 33 = 38$ .

Jebakan: memakai rumus geometri pada barisan yang sebenarnya aritmetika (atau sebaliknya). Yang benar: cek selisih dulu — bila tetap itu aritmetika; cek pembagian — bila tetap itu geometri.

Jebakan: keliru indeks pada suku ke-n; memakai $n$ alih-alih $(n-1)$ . Yang benar: aritmetika $U_n = a + (n-1)b$ , geometri $U_n = a \cdot r^{(n-1)}$ ; selisih satu indeks membuat jawaban berbeda jauh.

Jebakan: menyangka populasi yang membelah dua kali lipat bertambah linier. Yang benar: pembelahan rasio tetap adalah geometri — setelah $n$ generasi, jumlahnya tumbuh eksponensial $a \cdot r^n$ .

Aritmetika: beda tetap $b$ ; $U_n = a + (n-1) \cdot b$ ; contoh cicilan tetap dan kursi bertambah.
Geometri: rasio tetap $r$ ; $U_n = a \cdot r^{n-1}$ ; contoh bakteri dan bunga majemuk.
Untuk membedakan: hitung selisih (aritmetika) atau pembagian (geometri) antar suku.
Pembelahan $r$ kali lipat tiap generasi → geometri; populasi setelah $n$ generasi $= a \cdot r^n$ .
Hati-hati indeks: suku ke- $n$ pakai $(n-1)$ di rumus, bukan $n$ .