Memilih Kaidah Pencacahan: Perkalian, Permutasi, Kombinasi — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa memilih kaidah pencacahan yang tepat (perkalian, permutasi, kombinasi) dan menghitung banyak cara dengan singkat.

“Berapa banyak plat nomor tiga huruf berbeda?” “Berapa banyak susunan panitia tiga orang dari delapan calon yang urutannya tidak penting?” Dua soal itu mirip tapi jawabannya dihitung dengan kaidah berbeda. Salah pilih kaidah dan hasilnya meleset jauh. Coba lihat sendiri cara membedakannya di bawah.

Coba kerjakan dua butir ini untuk membiasakan diri memilih jenis kaidah yang tepat sebelum menghitung.

Tiga pertanyaan penentu kaidah

Soal pencacahan di UTBK hampir selalu bisa diselesaikan dengan satu dari tiga kaidah. Kuncinya adalah bertanya sebelum menghitung: apakah pilihan bertahap, apakah urutan penting, dan apakah ada pengulangan?

Aturan perkalian dipakai bila objek disusun bertahap dengan banyak pilihan berbeda di tiap tahap. Permutasi menyusun sebagian atau seluruh objek ketika urutan diperhitungkan. Kombinasi memilih objek ketika urutan tidak diperhitungkan.

Tiga tanda pemicu: “dengan cara berbeda”, “susunan”, “urutan” → permutasi. “Dipilih menjadi anggota”, “tim”, “contoh acak tanpa urutan” → kombinasi. “Tahap demi tahap”, “untuk setiap … lalu untuk setiap …” → aturan perkalian.

Aturan perkalian: pilihan bertahap

Bila penyusunan dilakukan dalam beberapa tahap dan tiap tahap punya sejumlah pilihan, kalikan banyak pilihan tiap tahap.

$\text{Banyak cara} = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$

Arti tiap simbol: $n_i$ banyak pilihan pada tahap ke- $i$ ; $k$ banyak tahap; hasil = perkalian seluruh tahap.

Contoh: 3 model baju, 2 model celana, 2 model sepatu → $3 \times 2 \times 2 = 12$ paduan. Sederhana, tapi mudah salah kalau ada tahap dengan pilihan terbatas (mis. “huruf harus berbeda”).

Latih aturan perkalian di bawah.

Permutasi: urutan diperhitungkan

Permutasi menyusun objek ketika urutan memengaruhi hasil. Untuk memilih $r$ dari $n$ objek berbeda tanpa pengulangan, pakai rumus turunan.

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$

Arti tiap simbol: $n$ total objek; $r$ banyak objek yang disusun; $n!$ faktorial $n$ ; hasil = perkalian $r$ suku menurun mulai $n$ .

Trik cepat untuk $P(n,r)$ kecil: tulis sebagai perkalian $r$ suku, mis. $P(5,3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . Tidak perlu menghitung faktorial penuh.

Latih permutasi di bawah.

Kombinasi: urutan tidak diperhitungkan

Kombinasi memilih objek ketika urutan tidak memengaruhi hasil. Untuk memilih $r$ dari $n$ objek berbeda, bagi permutasi dengan $r!$ untuk menghapus susunan berlebih.

$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Arti tiap simbol: $n$ total objek; $r$ banyak objek yang dipilih; $r!$ faktorial pembagi susunan; hasil = banyak kelompok tanpa urutan.

Trik simetri: $C(n,r) = C(n, n-r)$ . Mis. $C(8,3) = C(8,5) = 56$ .

Latih kombinasi di bawah.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Panitia terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara yang diisi dari 6 calon. Berapa banyak susunan panitia yang mungkin?

Ketua, sekretaris, dan bendahara adalah jabatan berbeda — urutan pengisian penting, jadi ini permutasi.

$P(6,3) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ .

Seandainya urutan tidak penting, hasilnya $C(6,3) = 20$ . Karena jabatan berbeda, ambil 120.

Jebakan: memakai kombinasi padahal soal memperhitungkan urutan (mis. kode, jabatan, posisi). Yang benar: urutan penting → permutasi; urutan tidak penting → kombinasi.

Jebakan: pada soal dengan pengulangan dilarang, menghitung $n^r$ (boleh berulang) sebagai jawaban. Yang benar: tanpa pengulangan dan urutan penting → $P(n,r) = n(n-1)\cdots(n-r+1)$ .

Jebakan: lupa membagi dengan $r!$ saat memakai kombinasi, sehingga hasilnya kebesaran $r!$ kali. Yang benar: $C(n,r) = P(n,r)/r!$ — selalu cek apakah urutan memang tidak diperhitungkan.

Tiga pertanyaan penentu: bertahap? urutan penting? ada pengulangan?
Aturan perkalian = $n_1 \times n_2 \times \cdots$ untuk pilihan bertahap.
Permutasi $P(n,r)$ = perkalian $r$ suku menurun, dipakai saat urutan penting.
Kombinasi $C(n,r) = P(n,r)/r!$ , dipakai saat urutan tidak diperhitungkan.
Trik simetri: $C(n,r) = C(n, n-r)$ mempercepat hitung.