Himpunan & Diagram Venn untuk Soal Keanggotaan — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan soal keanggotaan ganda memakai diagram Venn dua dan tiga lingkaran dengan strategi isi-dari-tengah.

Soal UTBK kerap memberi cerita: dari 40 siswa, 25 suka matematika, 20 suka fisika, dan 5 suka keduanya. Berapa yang tidak suka keduanya? Kalau kamu mencoba menjumlah 25 dan 20 begitu saja, jawabannya 45 — lebih besar dari 40. Yang double-count harus dikurangi. Coba lihat sendiri di diagram Venn di bawah.

Coba seret titik pada dua lingkaran di bawah dan perhatikan daerah irisan, gabungan, dan selisihnya.

Empat daerah diagram Venn dua lingkaran

Diagram Venn dua lingkaran selalu membagi semesta menjadi empat daerah berbeda. Sebut saja: hanya A, hanya B, irisan $A \cap B$ , dan di luar keduanya. Strategi soal Venn adalah mengisi keempat daerah ini dengan benar.

Irisan $A \cap B$ adalah anggota yang terdapat pada himpunan A dan B sekaligus. Gabungan $A \cup B$ adalah anggota yang terdapat pada A atau B atau keduanya.

Jumlah seluruh anggota keempat daerah selalu sama dengan banyaknya anggota semesta $S$ . Inilah jangkar pemeriksaan: kalau jumlah empat daerah tidak sama dengan $S$ , ada yang keliru.

Strategi isi-dari-tengah

Aturan emas soal Venn: selalu mulai dari daerah paling dalam, yaitu irisan $A \cap B$ . Sebab irisan tidak tumpang tindih dengan daerah lain — anggotanya jelas milik kedua himpunan. Setelah irisan terisi, kurangi dari tiap himpunan untuk mendapatkan “hanya A” dan “hanya B”.

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

Arti tiap simbol: $n(A)$ banyak anggota himpunan A; tanda minus mengoreksi double-count anggota irisan yang terhitung dua kali.

Bayangkan dua kantong plastik yang saling menumpuk. Kalau kamu menghitung isi masing-masing kantong lalu dijumlah, barang di bagian tumpukan ikut dihitung dua kali. Itulah mengapa rumus gabungan selalu mengurangi irisan.

Lihat bagaimana daerah “di luar keduanya” menyusut saat irisan membesar pada kurva di bawah.

Sebar anggota himpunan sebagai titik

Cara lain memahami Venn adalah membayangkan setiap anggota sebagai titik pada bidang. Anggota “hanya A” mengelompok di kiri, “hanya B” di kanan, irisan di tengah, di-luar keduanya tersebar di pinggir.

Tiga lingkaran: delapan daerah

Untuk tiga himpunan, diagram Venn memiliki delapan daerah: hanya A, hanya B, hanya C, irisan A-B, irisan A-C, irisan B-C, irisan ketiganya $A \cap B \cap C$ , dan di luar ketiganya. Tetap mulai dari pusat: isi $A \cap B \cap C$ dulu, lalu irisan dua-dua, baru “hanya” masing-masing.

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

Arti tiap simbol: gabungan tiga himpunan; irisan dua-dua dikurangi karena terhitung dua kali, irisan tiga ditambah kembali karena sebelumnya ter-hitung tiga lalu dikurangi tiga — perlu dikembalikan sekali.

Rumus tiga himpunan terlihat rumit, tetapi polanya konsisten: tambah himpunan tunggal, kurangi irisan berpasangan, tambah irisan ketiganya.

Latih Venn dua lingkaran

Terapkan strategi isi-dari-tengah pada angka acak. Selalu isi irisan dulu sebelum “hanya A” atau “hanya B”.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Dari 50 siswa, 30 belajar piano, 25 belajar biola, dan 10 belajar keduanya. Berapa siswa yang belajar piano saja?

Daerah irisan (belajar keduanya) berisi 10 siswa.

Piano saja = 30 − 10 = 20. Biola saja = 25 − 10 = 15.

Gabungan = 20 + 15 + 10 = 45. Di luar keduanya = 50 − 45 = 5. Maka piano saja = 20 siswa.

Jebakan: langsung menjumlah n(A) dan n(B) sebagai gabungan tanpa mengurangi irisan. Yang benar: gabungan selalu dikurangi irisan, karena anggota irisan terhitung dua kali pada penjumlahan biasa.

Jebakan: mengisi “hanya A” dengan nilai n(A) dari soal, melupakan pengurangan irisan. Yang benar: “hanya A” = n(A) − n(A ∩ B); selisihkan irisan dulu.

Jebakan: untuk tiga himpunan, melupakan tanda plus pada irisan ketiganya $A \cap B \cap C$ . Yang benar: irisan ketiganya ditambah kembali setelah tiga irisan berpasangan dikurangi.

Empat daerah Venn dua lingkaran: hanya A, hanya B, irisan, di-luar-keduanya.
Rumus inti: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ .
Strategi isi-dari-tengah: isi irisan dulu, kurangi dari tiap himpunan, baru “hanya”.
Tiga lingkaran: delapan daerah; rumus gabungan tiga himpunan perlu tanda plus pada irisan ketiganya.
Jumlah seluruh daerah harus sama dengan $S$ — pakai sebagai cek akhir.