FPB dan KPK Kilat untuk UTBK — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa menghitung FPB dan KPK lewat faktorisasi prima dan menerapkannya pada soal jadwal bersama serta pembagian rata.

Dua bus berangkat dari terminal yang sama: satu setiap 12 menit, satu lagi setiap 18 menit. Kapan keduanya berangkat bersama lagi? Itu soal KPK. Lalu saat ingin membagi 60 permen dan 48 cokelat ke kantong sama banyak tanpa sisa, berapa kantong maksimal? Itu soal FPB. Coba lihat sendiri polanya di bawah.

Coba kerjakan dua butir ini untuk membiasakan diri membedakan kapan soal minta FPB dan kapan KPK.

Mengenal FPB dan KPK

Subtes Pengetahuan Kuantitatif sering menyajikan soal yang sebenarnya hanya soal FPB atau KPK dibungkus cerita. Kunci cepatnya adalah mengenali kata pemicu: “tanpa sisa”, “sama banyak”, “maksimal” mengarah ke FPB; “bersama”, “sekali lagi”, “perjumpaan berikutnya” mengarah ke KPK.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dua bilangan adalah faktor terbesar yang membagi habis keduanya. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah kelipatan positif terkecil yang sama.

Dua bilangan selalu memenuhi hubungan hasil kali = FPB dikali KPK. Jadi menghitung salah satu membantu menemukan yang lain.

Faktorisasi prima: jalan satu tabel

Cara tercepat untuk dua bilangan sedang adalah faktorisasi prima. Urai kedua bilangan menjadi perkalian bilangan prima, lalu ambil sesuai aturan: FPB ambil pangkat terkecil tiap prima, KPK ambil pangkat terbesar.

$\text{FPB} = \prod p^{\min(a_p,\,b_p)}, \qquad \text{KPK} = \prod p^{\max(a_p,\,b_p)}$

Arti tiap simbol: $p$ bilangan prima yang muncul; $a_p$ dan $b_p$ pangkatnya pada kedua bilangan; $\min$ dan $\max$ diambil antar kedua bilangan.

Contoh: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ dan $48 = 2^4 \cdot 3$ . FPB ambil pangkat terkecil: $2^2 \cdot 3 = 12$ . KPK ambil pangkat terbesar: $2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$ .

Latih FPB lewat faktorisasi prima di bawah.

KPK: ambil pangkat terbesar

KPK bekerja kebalikannya: untuk tiap prima yang muncul di salah satu bilangan, ambil pangkat terbesar. Ini menjamin hasilnya habis dibagi kedua bilangan asli.

Bayangkan FPB sebagai irisan (yang sama-sama dimiliki, ambil yang terkecil) dan KPK sebagai gabungan (yang mencakup keduanya, ambil yang terbesar). Irisan memperkecil, gabungan memperbesar.

Latih KPK lewat faktorisasi prima di bawah.

Terapkan ke jadwal bersama

Soal jadwal adalah tipe KPK: dua kejadian berulang dengan periode berbeda, kapan bertemu lagi? KPK dari kedua periode memberi jawaban. Trik cepat: jika salah satu periode sudah merupakan kelipatan yang lain, KPK tinggal periode yang lebih besar.

Latih soal jadwal bersama di bawah.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tiga kru piket bergiliran setiap 8, 12, dan 18 hari. Mereka baru saja piket bersama hari ini. Berapa hari lagi mereka piket bersama lagi?

Kata kunci “bersama lagi” setelah periode berbeda menandakan KPK dari 8, 12, dan 18.

$8 = 2^3$ , $12 = 2^2 \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^2$ .

Prima yang muncul: 2 dan 3. Pangkat terbesar: $2^3$ dan $3^2$ . KPK $= 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ .

Jebakan: mengira “pembagian rata tanpa sisa” minta KPK karena kelihatannya “mencakup semua”. Yang benar: pembagian rata tanpa sisa dan maksimal minta FPB — kamu mencari pembagi terbesar yang habis membagi kedua bilangan.

Jebakan: pada soal jadwal bersama, mengalikan langsung kedua periode (mis. 12×18=216) sebagai jawaban. Yang benar: itu belum tentu yang terkecil — KPK(12,18)=36, jauh lebih kecil dari 216.

Jebakan: mengambil pangkat terbesar untuk FPB dan terkecil untuk KPK (tertukar). Yang benar: FPB ambil pangkat terkecil tiap prima, KPK ambil pangkat terbesar.

FPB ambil pangkat terkecil tiap prima; KPK ambil pangkat terbesar.
“Tanpa sisa, sama banyak, maksimal” → FPB; “bersama lagi, berikutnya” → KPK.
Faktorisasi prima adalah jalan satu tabel tercepat untuk dua-tiga bilangan.
Hubungan cepat: hasil kali dua bilangan = FPB × KPK.
Soal jadwal bersama selalu KPK dari periode-periode yang diberikan.