Barisan dan Deret: Suku ke-n dan Jumlah — Persiapan UTBK

Setelah ini kamu bisa menghitung suku ke-n dan jumlah n suku barisan aritmetika serta geometri secara efisien dengan rumus cepat.

Soal UTBK sering menanyakan “suku ke-20 dari barisan 3, 7, 11, …” atau “jumlah 10 suku pertama”. Menghitung satu per satu makan waktu. Pakai rumus suku dan jumlah, dan jawabannya keluar dalam dua langkah. Coba lihat sendiri polanya di bawah.

Coba kerjakan dua butir ini untuk membiasakan diri membedakan barisan aritmetika dan geometri serta memakai rumusnya.

Dua jenis barisan inti

Barisan adalah deretan bilangan tersusun menurut aturan tertentu. Dua jenis yang paling sering muncul di UTBK: aritmetika (selisih tetap) dan geometri (hasil bagi tetap). Mengenali jenisnya lebih dulu menentukan rumus mana yang dipakai.

Barisan aritmetika memiliki beda tetap $b$ antar suku berurutan. Barisan geometri memiliki rasio tetap $r$ antar suku berurutan.

Cek cepat: hitung $U_2 - U_1$ dan $U_3 - U_2$ . Bila sama → aritmetika. Hitung $U_2/U_1$ dan $U_3/U_2$ . Bila sama → geometri. Kadang kedua cek menghasilkan kepastian jenis dengan satu langkah.

Lihat perbandingan pertumbuhan kedua jenis barisan di bawah.

Suku ke-n aritmetika

Bila barisan aritmetika diketahui suku awal $a$ dan beda $b$ , suku ke- $n$ dihitung dengan satu rumus.

$U_n = a + (n - 1)\,b$

Arti tiap simbol: $a$ suku pertama; $b$ beda antar suku; $n$ nomor suku yang dicari; hasil = nilai suku ke- $n$ .

Contoh: $a = 5$ , $b = 3$ , cari $U_{20}$ . $U_{20} = 5 + (20-1) \cdot 3 = 5 + 57 = 62$ . Sekali substitusi, selesai.

Latih suku ke-n aritmetika di bawah.

Jumlah n suku aritmetika

Jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika bisa dihitung tanpa menjumlahkan satu per satu.

$S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a + (n - 1)b\bigr) = \frac{n}{2}\,(a + U_n)$

Arti tiap simbol: $n$ banyak suku; $a$ suku pertama; $b$ beda; $U_n$ suku ke- $n$ (bila sudah dihitung). Bentuk kedua lebih cepat bila $U_n$ sudah diketahui.

Contoh: jumlah 10 suku pertama barisan $a = 3$ , $b = 4$ . $S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 3 + 9 \cdot 4) = 5 \cdot 42 = 210$ .

Latih jumlah n suku aritmetika di bawah.

Suku ke-n geometri

Bila barisan geometri diketahui suku awal $a$ dan rasio $r$ , suku ke- $n$ memakai pangkat.

$U_n = a \cdot r^{\,n-1}$

Arti tiap simbol: $a$ suku pertama; $r$ rasio tetap; $n$ nomor suku; hasil = nilai suku ke- $n$ geometri.

Contoh: $a = 2$ , $r = 3$ , cari $U_5$ . $U_5 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ .

Latih suku ke-n geometri di bawah.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Barisan aritmetika memiliki suku ke-3 $= 11$ dan suku ke-7 $= 23$ . Tentukan suku ke-15.

$U_3 = a + 2b = 11$ . $U_7 = a + 6b = 23$ .

Kurangi: $(a + 6b) - (a + 2b) = 23 - 11 \Rightarrow 4b = 12 \Rightarrow b = 3$ . Lalu $a = 11 - 2 \cdot 3 = 5$ .

$U_{15} = a + 14b = 5 + 14 \cdot 3 = 5 + 42 = 47$ .

Jebakan: menggunakan $(n)$ alih-alih $(n-1)$ pada rumus suku, mis. $U_n = a + n \cdot b$ . Yang benar: $U_n = a + (n-1)b$ — geseran satu langkah karena $a$ sendiri adalah $U_1$ .

Jebakan: menganggap barisan geometri tumbuh seperti aritmetika sehingga suku ke- $n$ dihitung menjumlahkan rasio. Yang benar: geometri memakai pangkat $r^{n-1}$ , bukan perkalian $n-1$ kali suku awal.

Jebakan: lupa membagi $n/2$ pada rumus jumlah aritmetika, sehingga hasilnya kebesaran dua kali. Yang benar: $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ — selalu cek faktor $n/2$ .

Aritmetika: beda tetap $b$ ; geometri: rasio tetap $r$ .
Suku ke- $n$ aritmetika: $U_n = a + (n-1)b$ .
Jumlah $n$ suku aritmetika: $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$ .
Suku ke- $n$ geometri: $U_n = a \cdot r^{n-1}$ .
Dari dua suku diketahui, bentuk sistem persamaan lalu eliminasi untuk dapat $a$ dan $b$ .