Aturan Rantai untuk Komposisi Fungsi — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menurunkan komposisi fungsi $f(g(x))$ dengan aturan rantai, yaitu mengalikan turunan fungsi luar dengan turunan fungsi dalam.

Bayangkan dua roda gigi yang saling menggerakkan: roda kecil (fungsi dalam $g$ ) berputar lebih cepat, lalu memutar roda besar (fungsi luar $f$ ). Kalau roda kecil berputar dua kali lebih cepat dari biasanya, roda besar pun ikut berputar dua kali lebih cepat. Laju total = laju roda dalam kali laju roda luar. Itulah inti aturan rantai: turunan sebuah komposisi adalah hasil kali dua turunan. Geser slider di bawah dan saksikan dua kurva berubah serentak dengan kemiringan yang merupakan hasil kali.

Coba geser slider titik $x$ , dan perhatikan kemiringan kurva luar yang merupakan hasil kali dua laju.

Struktur komposisi: fungsi luar dan fungsi dalam

Komposisi fungsi $f(g(x))$ berarti kamu menerapkan $g$ dulu (fungsi dalam), lalu hasilnya dimasukkan ke $f$ (fungsi luar). Misalnya $(2x + 1)^2$ : bagian dalam adalah $g(x) = 2x + 1$ , bagian luar adalah $f(u) = u^2$ yang menerima hasil $g$ . Membedakan mana luar dan mana dalam adalah langkah pertama aturan rantai.

Fungsi dalam $g(x)$ adalah bagian yang dikerjakan paling awal; fungsi luar $f(u)$ adalah operasi terakhir yang diterapkan pada hasil $g(x)$ . Komposisinya ditulis $f(g(x))$ atau $(f \circ g)(x)$ .

Pada plot di atas, kurva $g = 2x + 1$ (aksen1) adalah fungsi dalam linier; kurva komposisi $f = g^2 = (2x+1)^2$ (aksen2) adalah hasil setelah $g$ dikuadratkan. Saat $x$ bergeser, nilai $g$ berubah dulu, lalu nilai $f$ mengikuti perubahan $g$ tadi.

Rumus aturan rantai

Aturan rantai menyatakan bahwa turunan komposisi adalah hasil kali turunan luar (dinilai di hasil fungsi dalam) dengan turunan dalam. Cara mengingatnya: “turunan luar kali turunan dalam”.

$\frac{d}{dx}\bigl[f(g(x))\bigr] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Arti tiap simbol: $f'(g(x))$ = turunan fungsi luar yang dievaluasi di $g(x)$ (bukan di $x$ ); $g'(x)$ = turunan fungsi dalam terhadap $x$ ; keduanya dikalikan.

Untuk $f(g(x)) = (2x+1)^2$ : luar $f(u) = u^2 \Rightarrow f'(u) = 2u$ ; dalam $g(x) = 2x+1 \Rightarrow g'(x) = 2$ . Maka $f'(g(x)) = 2(2x+1)$ , dan turunan rantainya $2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1) = 8x + 4$ .

Berpikir seperti dongeng bersarang: ada kotak luar (fungsi luar) yang berisi kotak dalam (fungsi dalam). Saat $x$ berubah sedikit, kotak dalam $g(x)$ ikut berubah dengan laju $g'(x)$ ; lalu kotak luar $f$ merespons perubahan itu dengan laju $f'(g)$ di nilai $g$ yang baru. Total perubahan = laju dalam kali laju luar di titik itu.

Pola umum: turunan (g(x))^n

Bentuk yang paling sering muncul di soal adalah pangkat dari sebuah fungsi dalam: $\bigl(g(x)\bigr)^n$ . Di sini fungsi luar adalah $f(u) = u^n$ dengan turunan $f'(u) = n u^{n-1}$ . Aturan rantai langsung memberikan pola praktis.

$\frac{d}{dx}\bigl[g(x)\bigr]^n = n \cdot \bigl[g(x)\bigr]^{n-1} \cdot g'(x)$

Arti tiap simbol: pangkat luar $n$ turun ke depan sebagai pengali; pangkat fungsi dalam dikurangi satu menjadi $n-1$ ; lalu dikalikan turunan fungsi dalam $g'(x)$ .

Pada plot di bawah, kurva $f = (ax + 1)^3$ (aksen1) dan turunannya $f' = 3a(ax+1)^2$ (aksen2). Slider $a$ mengubah kemiringan fungsi dalam $g = ax+1$ ; saat $a$ membesar, kurva kubik makin curam dan turunannya menjauhi nol.

Pengaruh pangkat luar n

Selain kemiringan fungsi dalam, pangkat luar $n$ juga memengaruhi bentuk kurva dan turunannya. Pada plot di bawah, kurva $f = (x + 1)^n$ (aksen1) dan turunannya $f' = n(x+1)^{n-1}$ (aksen2). Saat $n$ dinaikkan, kurva makin melengkung curam dan turunannya makin tajam.

Turunan f vs f’: hasil kali dua laju

Satu cara membuktikan aturan rantai adalah membandingkan kurva komposisi $f$ dengan kurva turunannya $f'$ . Untuk $f(x) = (2x+1)^2$ , turunan rantainya $f'(x) = 8x + 4$ — sebuah garis lurus. Pada plot di bawah, kurva atas $f$ (aksen1) dan kurva bawah $f'$ (aksen2) ditampilkan bersama; titik penanda membaca gradien kurva $f$ di tiap titik.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memintamu menurunkan fungsi komposisi seperti $(3x-2)^5$ atau $\sqrt{4x+1}$ (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Triknya: pisahkan fungsi luar dan dalam, turunkan masing-masing, lalu kalikan; jangan menurunkan pangkat tanpa memperhitungkan turunan fungsi dalam.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan turunan $f(x) = (3x - 2)^4$ .

Fungsi dalam $g(x) = 3x - 2$ sehingga $g'(x) = 3$ . Fungsi luar $f(u) = u^4$ sehingga $f'(u) = 4u^3$ .

Aturan rantai: $f'(x) = 4(3x-2)^3 \cdot 3 = 12(3x-2)^3$ . Jawaban akhir: $f'(x) = 12(3x-2)^3$ .

Latih kecepatan menurunkan komposisi sederhana di bawah.

Jebakan: menurunkan $(2x+1)^3$ menjadi $3(2x+1)^2$ tanpa mengalikan turunan dalam. Yang benar: $3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$ — pangkat luar turun ke depan, lalu wajib dikalikan $g'(x) = 2$ .

Jebakan: mengevaluasi turunan luar di $x$ , bukan di $g(x)$ . Yang benar: turunan luar $f'(u) = 2u$ harus dievaluasi di $u = g(x)$ , jadi $f'(g(x)) = 2g(x)$ , bukan $2x$ . Inilah inti “fungsi dalam” — turunan luar mengikuti nilai dalam.

Aturan rantai: $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .
Pisahkan fungsi luar $f$ dan fungsi dalam $g$ sebelum menurunkan.
Pola pangkat: $\dfrac{d}{dx}[g(x)]^n = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ .
Turunan luar dievaluasi di $g(x)$ , bukan di $x$ .
Jangan lupa mengalikan turunan dalam $g'(x)$ — jebakan paling umum.