Optimasi dengan Turunan — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan masalah maksimum-minimum terapan dengan memodelkannya menjadi satu variabel lalu mencari titik stasioner turunannya.

Seorang peternak punya 40 meter pagar untuk membuat kandang persegi panjang menyusuri dinding. Bagaimana memilih panjang dan lebarnya agar luas kandang maksimum? Kalau dijajaki satu per satu, capek. Tapi turunan tahu jawabannya dalam tiga langkah: modelkan luas sebagai fungsi satu variabel, turunkan, lalu cari titik di mana turunannya nol. Geser slider di bawah dan saksikan luas kandang memuncak tepat di titik stasioner.

Coba geser slider lebar $x$ , dan perhatikan luas kandang memuncak saat turunan luasnya nol.

Kerangka optimasi: tiga langkah baku

Setiap soal optimasi punya struktur yang sama: ada besaran yang ingin dimaksimumkan atau minimumkan (luas, volume, biaya), dan ada kekangan berupa hubungan antar-variabel (panjang pagar tetap, jumlah dua sisi konstan). Kerangka penyelesaiannya selalu tiga langkah.

Fungsi tujuan adalah besaran yang dioptimalkan (mis. luas, volume). Kekangan adalah hubungan yang mengikat variabel (mis. keliling tetap). Langkah: (1) tulis fungsi tujuan; (2) pakai kekangan untuk menyatakannya dalam satu variabel; (3) turunkan dan cari titik di mana turunannya nol.

Pada plot di atas, kandang menyusuri dinding sehingga hanya tiga sisi dipagar: dua lebar $x$ dan satu panjang $L_p$ . Kekangan $2x + L_p = 40$ , sehingga $L_p = 40 - 2x$ . Fungsi tujuan (luas) $= x \cdot L_p = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$ — sebuah fungsi satu variabel siap diturunkan.

Mencari titik optimal: turunannya nol

Setelah fungsi tujuan disatakan dalam satu variabel, mencari titik optimal sama seperti mencari ekstrem lokal: turunkan fungsinya, lalu selesaikan $f'(x) = 0$ . Untuk luas kandang $L(x) = 40x - 2x^2$ : turunannya $L'(x) = 40 - 4x$ . Maka $L'(x) = 0 \Rightarrow 40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10$ . Saat $x = 10$ , luasnya $L(10) = 40(10) - 2(100) = 200$ m² — itulah luas maksimum.

$\text{Titik optimal: } f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{substitusi kembali ke fungsi tujuan}$

Arti tiap simbol: selesaikan $f'(x)=0$ untuk mendapat nilai kandidat; substitusi nilai itu ke fungsi tujuan untuk mendapat nilai maksimum/minimum; verifikasi jenisnya lewat uji tanda atau turunan kedua.

Bayangkan grafik fungsi tujuan sebagai perbukitan. Puncak tertinggi adalah nilai maksimum yang kamu cari. Di puncak, kemiringan jalan nol — itulah mengapa turunan diset nol. Bila kamu berhenti di titik lain yang bukan puncak, kemiringannya tak nol, artinya kamu masih bisa menaiki atau menuruni untuk dapat nilai lebih baik.

Contoh terapan: volume kotak terbuka

Karton berukuran $20 \times 20$ cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan memotong persegi kecil bersisi $x$ di tiap sudut lalu melipat ke atas. Volume kotak $V = (20 - 2x)^2 \cdot x$ . Slider $x$ mengubah ukuran potongan; volume memuncak saat turunan volume nol.

Memecah angka agar hasil kali maksimum

Bentuk optimasi klasik lain: memecah sebuah angka menjadi dua bagian agar hasil kalinya maksimum. Misalnya, pecah angka $20$ menjadi $x$ dan $(20 - x)$ ; hasil kalinya $P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$ . Turunan $P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$ . Hasil kali maksimum terjadi saat kedua bagian sama besar: $10 \times 10 = 100$ .

Fungsi tujuan vs kekangan: memvisualkan keduanya

Pada plot di bawah, dua kurva ditampilkan bersamaan: fungsi tujuan luas $L = 40x - 2x^2$ (aksen1) dan kekangan panjang $L_p = 40 - 2x$ (aksen2). Saat lebar $x$ membesar, panjang $L_p$ berkurang linier (kekangan); luas $L$ naik lalu turun, memuncak di tengah. Titik optimal berada di mana turunan luas nol — bukan di ujung kekangan.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap memberi konteks nyata seperti kandang, kotak, atau biaya produksi yang harus dioptimalkan (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Triknya: definisikan variabel, tulis kekangan dan fungsi tujuan, satahkan ke satu variabel, lalu cari titik stasioner turunannya; verifikasi jawaban masuk domain yang masuk akal.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah peternak punya 40 meter pagar untuk kandang persegi panjang menyusuri dinding (tiga sisi dipagar). Berapa luas maksimum kandang itu?

Misal lebar $x$ dan panjang $L_p$ . Kekangan: $2x + L_p = 40 \Rightarrow L_p = 40 - 2x$ . Fungsi tujuan: luas $L = x \cdot L_p = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2$ .

$L'(x) = 40 - 4x$ . Titik stasioner: $40 - 4x = 0 \Rightarrow x = 10$ . Domain yang masuk akal: $0 \leq x \leq 20$ (sebab $L_p = 40 - 2x \geq 0$ ). $x = 10$ masuk domain.

$L(10) = 40(10) - 2(10)^2 = 400 - 200 = 200$ . Panjangnya $L_p = 40 - 2(10) = 20$ . Jadi luas maksimumnya $200$ m² dengan ukuran $20 \times 10$ .

Latih kecepatan mencari luas maksimum persegi panjang berpagar konstan di bawah.

Jebakan: menurunkan fungsi tujuan yang masih dalam dua variabel. Yang benar: pakai kekangan untuk menyatakan fungsi tujuan dalam satu variabel dulu, baru turunkan. Menurunkan dua variabel sekaligus akan menghasilkan jawaban yang salah.

Jebakan: lupa memeriksa apakah titik stasioner masuk domain yang masuk akal. Yang benar: periksa domain (misal $x \geq 0$ dan panjang $\geq 0$ ); bila titik stasioner di luar domain, nilai optimal mungkin berada di ujung domain. Selalu substitusi kembali ke fungsi tujuan untuk memastikan nilai maks/minimumnya.

Optimasi = memodelkan, menyatahkan ke satu variabel, lalu mencari titik stasioner.
Fungsi tujuan: besaran yang dioptimalkan (luas, volume, biaya).
Kekangan: hubungan yang membatasi variabel (keliling tetap, jumlah konstan).
Titik optimal: $f'(x) = 0$ — verifikasi jenisnya dan masuk domain.
Selalu substitusi nilai optimal ke fungsi tujuan untuk mendapat nilai maks/minimum.