Turunan dalam Gerak: Kecepatan & Percepatan — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membaca posisi, kecepatan, dan percepatan sebagai rantai turunan terhadap waktu, serta menerapkannya pada gerak lurus.

Bayangkan sebuah roket mainan yang diluncurkan ke atas. Saat roket naik, ketinggiannya berubah setiap detik — itulah posisi $s(t)$ . Laju perubahan ketinggian adalah kecepatan $v(t)$ , dan laju perubahan kecepatan adalah percepatan $a(t)$ . Ketiganya saling terkait lewat turunan: kecepatan = turunan posisi, percepatan = turunan kecepatan. Saat roket mencapai puncak, kecepatannya nol sesaat — tapi percepatannya tidak pernah nol. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider waktu t di bawah dan perhatikan ketiga kurva posisi, kecepatan, dan percepatan dibaca serentak.

Tiga kurva berurutan dari gerak vertikal roket dengan percepatan gravitasi konstan: posisi s = dikurangi 5 t kuadrat ditambah 20 t (aksen1), kecepatan v = dikurangi 10 t ditambah 20 (aksen2), percepatan a = dikurangi 10 (netral). Slider waktu t menggerakkan satu titik penanda di ketiga kurva, mengungkap hubungan turunan: kecepatan = turunan posisi, percepatan = turunan kecepatan.

Posisi, kecepatan, percepatan: rantai turunan

Dalam gerak satu dimensi, posisi $s(t)$ menyatakan letak benda pada waktu $t$ . Kecepatan $v(t)$ adalah laju perubahan posisi — alias turunan pertamanya. Percepatan $a(t)$ adalah laju perubahan kecepatan — turunan kedua posisi (atau turunan pertama kecepatan). Ketiganya membentuk rantai turunan yang rapi: $s \to v \to a$ .

Kecepatan sesaat adalah turunan pertama posisi: $v(t) = s'(t)$ . Percepatan sesaat adalah turunan pertama kecepatan (atau turunan kedua posisi): $a(t) = v'(t) = s''(t)$ . Tanda kecepatan menunjukkan arah gerak: positif bergerak ke arah sumbu positif, negatif ke arah sebaliknya.

Kecepatan sebagai gradien posisi

Karena kecepatan adalah turunan posisi, nilai $v(t)$ sama dengan gradien garis singgung kurva $s(t)$ di waktu $t$ . Bila kurva $s$ naik (gradien positif), benda bergerak ke arah positif; bila turun (gradien negatif), benda bergerak mundur; bila mendatar (gradien nol), benda sesaat diam. Inilah jembatan visual antara grafik posisi dan kecepatan.

$v(t) = \frac{ds}{dt} = s'(t), \qquad a(t) = \frac{dv}{dt} = v'(t) = s''(t)$

Arti tiap simbol: $s(t)$ = posisi (m); $v(t)$ = kecepatan sesaat (m/s), turunan pertama posisi; $a(t)$ = percepatan sesaat (m/s kuadrat), turunan kedua posisi. Tanda positif/negatif menyatakan arah sepanjang sumbu gerak.

Pada plot di bawah, slider waktu menggerakkan satu titik di kurva posisi $s = -5t^2 + 20t$ . Garis singgung di titik itu punya gradien = kecepatan sesaat. Amati bagaimana saat posisi mencapai puncak (garis singgung mendatar, gradien nol), kecepatan juga nol — momen sesaat berhenti di puncak lintasan.

Puncak: kecepatan nol, percepatan bukan nol

Salah satu wawasan paling penting dari turunan kinematika adalah pada puncak lintasan. Saat benda mencapai titik tertinggi, posisinya maksimum — di titik stasioner, turunan pertama nol, sehingga $v = 0$ . Tapi percepatan tidak nol: gravitasi terus menarik benda ke bawah sepanjang waktu. Inilah kekuatan kalkulus — membedakan “sesaat diam” dari “benar-benar berhenti”.

Plot di bawah memfokuskan pada momen puncak $t = 2$ untuk gerak $s = -5t^2 + 20t$ . Pada titik itu, kurva $v = -10t + 20$ memotong sumbu-x ( $v = 0$ ), tetapi kurva $a = -10$ tetap di bawah sumbu-x (percepatan gravitasi konstan $-10$ m/s kuadrat).

Soal turunan dalam konteks kinematika sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Pola umum: diberi fungsi posisi $s(t)$ , ditanya kecepatan atau percepatan pada waktu tertentu. Triknya: turunkan $s(t)$ sekali untuk kecepatan, dua kali untuk percepatan, lalu substitusi waktu yang ditanya. Soal jebakan klasik: “kapan benda diam?” — cari $t$ saat $v(t) = 0$ , bukan saat $s(t) = 0$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Posisi sebuah benda bergerak lurus diberikan $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (meter). (a) Tentukan fungsi kecepatan dan percepatan. (b) Kapan benda sesaat diam? (c) Berapa percepatan saat benda pertama kali diam?

$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$ . Percepatan $a(t) = v'(t) = 6t - 12$ .

$3t^2 - 12t + 9 = 0$ dibagi 3: $t^2 - 4t + 3 = 0$ , faktor $(t-1)(t-3) = 0$ , sehingga $t = 1$ atau $t = 3$ . Benda sesaat diam pada detik ke-1 dan ke-3.

$a(1) = 6(1) - 12 = -6$ m/s kuadrat. Percepatan negatif berarti melambatkan gerak ke arah positif (atau mempercepat ke arah negatif). Jadi saat benda pertama kali diam ( $t = 1$ ), percepatannya $-6$ m/s kuadrat — bukan nol, meskipun kecepatan nol.

Latih kecepatan menghitung kecepatan sesaat dari posisi acak di bawah.

Jebakan: mengira “sesaat diam” berarti “tanpa percepatan”. Yang benar: di puncak lintasan, $v = 0$ sesaat, tetapi percepatan $a = s''(t)$ biasanya tidak nol. Gravitasi terus menarik benda ke bawah bahkan saat ia berhenti sejenak di puncak — kecepatan nol, percepatan tetap $-g$ .

Jebakan: mencari “kapan benda diam” dengan menyelesaikan $s(t) = 0$ . Yang benar: benda diam saat kecepatannya nol, yaitu $v(t) = s'(t) = 0$ , bukan $s(t) = 0$ . Posisi nol berarti benda berada di titik asal, bukan berarti tidak bergerak — ia bisa lewat titik asal dengan kecepatan tinggi.

Posisi $s(t)$ , kecepatan $v = s'(t)$ , percepatan $a = v' = s''(t)$ .
Kecepatan = gradien garis singgung kurva posisi.
Tanda $v$ : positif arah maju, negatif arah mundur, nol sesaat diam.
Di puncak lintasan: $v = 0$ tetapi $a$ biasanya bukan nol.
Benda diam dicari dari $v(t) = 0$ , bukan $s(t) = 0$ .