Aturan Hasil Kali & Hasil Bagi Turunan — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menurunkan hasil kali dua fungsi $u(x)\cdot v(x)$ dengan aturan $u'v+uv'$ dan hasil bagi $u(x)/v(x)$ dengan rumus pasangannya.

Tadi kamu belajar menurunkan satu fungsi pangkat. Tapi soal asli jarang se simpel itu — biasanya bentuk perkalian atau pembagian, misalnya luas $= p(l) \cdot l$ atau kecepatan $= s(t)/t$ . Kalau kamu menurunkan masing-masing lalu menjumlahkan begitu saja, jawabannya meleset. Butuh aturan khusus yang mengakui bahwa dua fungsi yang dikalikan saling memengaruhi kemiringannya. Coba geser titik di bawah dan lihat kurva hasil kali beserta turunannya berubah.

Coba geser slider $x$ , dan perhatikan kurva turunan $f'=(u'v+uv')$ menimpa hasil kali $u \cdot v$ .

Mengapa turunan hasil kali bukan u’ kali v’

Misalnya $u(x) = x^2$ dan $v(x) = x + 1$ , sehingga hasil kalinya $f(x) = x^2(x+1) = x^3 + x^2$ . Bila kamu menurunkan $x^2$ menjadi $2x$ dan $x+1$ menjadi $1$ , lalu mengalikannya menjadi $2x \cdot 1 = 2x$ , hasilnya meleset jauh dari turunan sebenarnya $3x^2 + 2x$ . Itu karena kedua fungsi berubah bersamaan — kamu harus menghitung kontribusi masing-masing.

Aturan hasil kali: turunan dari $u(x) \cdot v(x)$ adalah $\dfrac{d}{dx}[u \cdot v] = u'v + uv'$ , yaitu turunan fungsi pertama kali fungsi kedua, plus fungsi pertama kali turunan fungsi kedua.

Intuisinya seperti memperluas sebuah persegi panjang: bila kedua sisi ( $u$ dan $v$ ) bertambah sedikit, ada dua pita tambahan dari masing-masing sisi ( $u'\,dv$ dan $v'\,du$ ) plus pojok kecil yang menyusut nol. Dua pita itulah dua suku $u'v$ dan $uv'$ .

Verifikasi rumus u’v + uv’

Mari kita cek dengan contoh di atas. Untuk $u = x^2$ dan $v = x+1$ : turunan $u' = 2x$ , $v' = 1$ . Maka $u'v + uv' = 2x(x+1) + x^2(1) = 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x$ . Persis sama dengan turunan yang kita peroleh dengan cara perluasan dulu lalu diturunkan. Kedua jalan menuju hasil yang sama.

$\frac{d}{dx}\bigl[u(x)\cdot v(x)\bigr] = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$

Arti tiap simbol: $u, v$ = dua fungsi terhadap $x$ ; $u', v'$ = turunan masing-masing; rumusnya menjumlahkan dua produk — turunan satu dikali fungsi yang lain, lalu ditukar.

Pada plot di bawah, kurva $3x^2+2x$ (turunan sebenarnya) dan kurva $u'v+uv' = 2x(x+1)+x^2$ (hasil rumus) saling menumpuk sempurna — bukti visual bahwa aturan hasil kali benar.

Aturan hasil bagi: turunan pembagian dua fungsi

Bila $f(x) = u(x)/v(x)$ , turunannya membutuhkan rumus pasangan yang mirip tapi ada tanda minus dan dibagi $v^2$ . Kata kunci: “turunan atas kali bawah, minus atas kali turunan bawah, semua dibagi kuadrat bawah”.

$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}$

Arti tiap simbol: $u$ = pembilang, $v$ = penyebut ( $v \neq 0$ ); $u', v'$ = turunan masing-masing; pembilang mengurangi (bukan menambah) dan seluruhnya dibagi kuadrat penyebut.

Untuk $u = x^2$ dan $v = x+1$ : hasil baginya $f = x^2/(x+1)$ . Dengan rumus, $u'v - uv' = 2x(x+1) - x^2(1) = 2x^2+2x - x^2 = x^2 + 2x$ , lalu dibagi $(x+1)^2$ . Pada plot di bawah, kurva $f = x^2/(x+1)$ dan turunannya $(x^2+2x)/(x+1)^2$ tampil bersama.

Verifikasi aturan hasil bagi

Sekali lagi, mari cek dengan contoh: $u'v - uv' = 2x(x+1) - x^2 = x^2+2x$ , lalu dibagi $(x+1)^2$ . Pada plot di bawah, kurva hasil rumus itu menumpuk dengan turunan langsung yang bisa kamu hitung dari $x^2/(x+1)$ — keduanya identik, memastikan rumus benar.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering memberi bentuk seperti $x^2 \cdot \sqrt{x+1}$ atau $(2x+1)/(x-3)$ dan meminta turunannya (kerangka TKA 045/H/AN/2025, elemen Kalkulus). Strategi: identifikasi $u$ dan $v$ , turunkan masing-masing, lalu terapkan rumus hasil kali atau hasil bagi dengan teliti — terutama tanda minus pada pembilang rumus hasil bagi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Tentukan turunan $f(x) = x^2 \cdot (3x - 1)$ dengan aturan hasil kali.

Ambil $u = x^2$ (maka $u' = 2x$ ) dan $v = 3x - 1$ (maka $v' = 3$ ).

$f'(x) = u'v + uv' = 2x(3x-1) + x^2(3) = 6x^2 - 2x + 3x^2 = 9x^2 - 2x$ . Jawaban akhir: $f'(x) = 9x^2 - 2x$ .

Latih kecepatan menerapkan aturan hasil kali dengan koefisien acak di bawah.

Jebakan: mengira turunan $u \cdot v$ cukup $u' \cdot v'$ . Yang benar: $u'v + uv'$ — dua produk yang dijumlahkan, bukan dua turunan yang dikalikan.

Jebakan: menulis turunan hasil bagi sebagai $(u' - v')/v$ atau memakai tanda plus pada pembilang. Yang benar: $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ — selisih (bukan jumlah), dan penyebut dikuadratkan.

Aturan hasil kali: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ .
Aturan hasil bagi: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Turunan hasil kali bukan perkalian kedua turunan.
Pembilang hasil bagi memakai tanda minus; penyebut dikuadratkan.