Sudut Istimewa: 30, 45, 60 Derajat — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa menurunkan nilai sin, cos, dan tan untuk sudut 30, 45, dan 60 derajat dari bangun istimewa, lalu memakainya menghitung sisi segitiga.

Sebagian besar soal trigonometri memakai tiga sudut yang sama: 30, 45, dan 60 derajat. Kenapa? Karena ketiganya lahir dari dua bangun paling simetris — segitiga sama sisi dan persegi — sehingga nilai sin, cos, tan-nya bersih dan mudah diingat. Coba muat preset di bawah, dan lihat dari mana angka-angka itu datang.

Coba muat ketiga preset di bawah, lalu bandingkan rasio trigonometri yang muncul pada tiap sudut istimewa.

Dari segitiga sama sisi lahir 30 dan 60 derajat

Ambil sebuah segitiga sama sisi bersisi 2. Semua sudutnya $60^\circ$ . Sekarang belah menjadi dua bagian dengan menarik garis tinggi dari satu titik ke titik tengah sisi hadapannya. Hasilnya: dua segitiga siku-siku yang masing-masing memuat sudut $30^\circ$ dan $60^\circ$ .

Segitiga istimewa 30-60-90 adalah segitiga siku-siku bersudut lancip $30^\circ$ dan $60^\circ$ , dengan perbandingan sisi $1 : \sqrt{3} : 2$ (sisi hadap $30^\circ$ : sisi hadap $60^\circ$ : sisi miring).

Pada segitiga belahan itu, sisi miringnya tetap 2 (sisi segitiga sama sisi semula). Sisi hadap $30^\circ$ adalah setengah sisi miring, yaitu 1. Sisi hadap $60^\circ$ tinggal dihitung lewat Pythagoras: $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ . Dari tiga sisi ini, semua nilai trigonometri sudut 30 dan 60 langsung terbaca.

Geser sudut acuan di bawah untuk menegok ke $30^\circ$ lalu ke $60^\circ$ , dan amati rasionya.

Nilai sin, cos, tan untuk 30 dan 60 derajat

Dengan sisi hadap $30^\circ$ = 1, sisi hadap $60^\circ$ = $\sqrt{3}$ , dan sisi miring = 2, hitung tiga perbandingan untuk sudut acuan $30^\circ$ .

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Arti tiap simbol: pembilang = sisi depan sudut acuan; penyebut = sisi miring untuk sin dan cos, sisi hadap untuk tan. Untuk $60^\circ$ , cukup tukar peran: sin dan cos bertukar tempat.

Sudut 30 dan 60 seperti kembar cermin: pada segitiga yang sama, keduanya saling melengkapi (berjumlah 90). Maka sin $30^\circ$ = cos $60^\circ$ , dan sebaliknya — angkanya cuma bertukar tempat.

Dari persegi lahir 45 derajat

Sekarang ambil sebuah persegi bersisi 1, lalu tarik garis diagonalnya. Diagonal itu membagi persegi menjadi dua segitiga siku-siku sama kaki, masing-masing bersudut lancip $45^\circ$ . Panjang diagonalnya, lewat Pythagoras, adalah $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

Segitiga istimewa 45-45-90 adalah segitiga siku-siku sama kaki bersudut lancip $45^\circ$ , dengan perbandingan sisi $1 : 1 : \sqrt{2}$ (sisi siku : sisi siku : sisi miring).

Karena kedua sisi siku-siku sama panjang (1) dan sisi miring $\sqrt{2}$ , nilai trigonometrinya sangat bersih: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , dan $\tan 45^\circ = 1$ . Muat preset persegi di bawah untuk melihatnya.

Tabel ringkas tiga sudut istimewa

Karena kesebangunan menjamin nilai trigonometri tak bergantung ukuran, ketiga bangun istimewa tadi cukup dihitung sekali untuk selamanya. Hasilnya dirangkum dalam tabel berikut — angka inilah yang layak dihafal karena muncul terus di soal.

Sudut $\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$30^\circ$	$\frac{1}{2} = 0,5$	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$	$\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,58$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71$	$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$	$\frac{1}{2} = 0,5$	$\sqrt{3} \approx 1,73$

Pola yang membantu hafal: kolom sin naik dari $0,5 \to 0,71 \to 0,87$ saat sudut membesar $30 \to 45 \to 60$ , sedangkan kolom cos turun dengan urutan terbalik. Tangen melonjak drastis menjelangi $60^\circ$ karena sisi hadap memanjang sementara sisi hadap sudut miring mengecil.

Buktikan sendiri tabelnya di segitiga di bawah: muat tiap preset, lalu bandingkan rasio yang terhitung dengan angka di tabel — keduanya harus cocok sampai pembulatan.

Di TKA dan UTBK, sudut istimewa muncul di soal elevasi, dimensi tiga, dan identitas trigonometri. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan trigonometri perbandingan sebagai cakupan resmi. Nilai-nilai bersih di atas sebaiknya dihafal sampai otomatis — soal sering hanya bertanya $\sin 60^\circ$ atau memintamu membandingkan dua nilai. Jebakan klasik: tertukar antara $\sin 30^\circ = 0,5$ dan $\sin 60^\circ \approx 0,87$ .

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah tangga bersandar pada dinding sehingga membentuk sudut $60^\circ$ terhadap tanah. Jika dasar tangga berjarak $2$ meter dari kaki dinding, berapa panjang tangga itu?

Sudut antara tangga (sisi miring) dan tanah adalah $60^\circ$ . Diketahui sisi hadap sudut siku… tunggu, yang diketahui adalah jarak dasar tangga ke dinding = sisi hadap sudut $60^\circ$ = $2$ m. Yang ditanya adalah sisi miring.

$\cos 60^\circ = \frac{\text{sisi hadap } 60^\circ}{\text{sisi miring}} = \frac{2}{\text{sisi miring}}$ . Karena $\cos 60^\circ = 0,5$ , maka $0,5 = \frac{2}{\text{sisi miring}}$ , sehingga sisi miring $= \frac{2}{0,5} = 4$ meter.

Latihan serupa dengan angka acak ada di bawah — hitung dulu di kertas, baru tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: tertukar nilai sin 30 dan sin 60, atau cos 30 dan cos 60. Yang benar: sin 30 = 0,5 dan sin 60 = akar 3 / 2. Triknya — sudut yang lebih kecil (30) berhadapan dengan sisi yang lebih pendek, sehingga sinusnya lebih kecil.

Jebakan: mengira sisi hadap 30 derajat dan sisi hadap 60 derajat sama panjang pada segitiga 30-60-90. Yang benar: sisi hadap 30 = setengah sisi miring, sisi hadap 60 = sisi miring kali akar 3 / 2. Dua sisi siku-siku ini berbeda; hanya segitiga 45-45-90 yang kedua sisi siku sama.

Sudut istimewa 30, 45, 60 lahir dari segitiga sama sisi (30-60-90) dan persegi (45-45-90).
Segitiga 30-60-90 bersisi dengan perbandingan $1 : \sqrt{3} : 2$ .
Segitiga 45-45-90 bersisi dengan perbandingan $1 : 1 : \sqrt{2}$ .
$\sin 30 = 0,5$ , $\cos 60 = 0,5$ , dan $\tan 45 = 1$ — tiga nilai paling sering muncul.
Sudut 30 dan 60 saling melengkapi, sehingga $\sin 30 = \cos 60$ dan sebaliknya.