Langsung ke isi
Lyra
Matematika · Kelas 11–12 · Fase F · 8 menit baca TKA

Sudut Berelasi di Empat Kuadran

Setelah ini kamu bisa menentukan nilai sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan sudut di semua kuadran lewat sudut acuan dan pola tanda ASTC.

Di kalkulator, sin⁡150∘\sin 150^\circ mengeluarkan 0,50{,}5 — sama persis dengan sin⁡30∘\sin 30^\circ. Kebetulan? Bukan. Kedua sudut itu berelasi: 150∘150^\circ adalah 180∘−30∘180^\circ - 30^\circ, dan keduanya berbagi nilai sinus karena titiknya di lingkaran satuan saling bercermin. Begitu kamu melihat pola cermin ini, ratusan nilai trigonometri runtuh menjadi segelintir sudut acuan. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba amati poligon beraturan di bawah dan bayangkan sebuah titik berjalan mengelilingi lingkaran satuan melewati empat kuadran.

Empat kuadran dan koordinat titik

Di lingkaran satuan, sebuah sudut θ\theta (diukur dari sumbu-x positif, berlawanan jarum jam) menunjuk ke sebuah titik dengan koordinat (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta). Sumbu-x dan sumbu-y membagi bidang menjadi empat kuadran. Tanda cos⁡θ\cos\theta mengikuti tanda sumbu-x; tanda sin⁡θ\sin\theta mengikuti tanda sumbu-y.

Kuadran adalah salah satu dari empat daerah bidang yang dipisahkan oleh sumbu-x dan sumbu-y. Sudut berelasi adalah sudut di kuadran II, III, atau IV yang nilai trigonometrinya berkaitan dengan sudut lancip di kuadran I melalui sudut acuan.

Bangun di bawah memperlihatkan segiempat yang merepresentasikan “bayangan cermin”: sebuah sudut di kuadran I dan bayangannya di kuadran lain. Seret titik utama dan amati bagaimana nilai absolut koordinatnya tetap, hanya tandanya yang berubah.

Pola tanda ASTC

Karena cos⁡θ\cos\theta = koordinat-x dan sin⁡θ\sin\theta = koordinat-y, tandanya bergantung kuadran. Ingat akronim ASTC: All (Q1), Sin (Q2), Tan (Q3), Cos (Q4) — satu kata “Semua Suka Tahu Cara”. Di kuadran I semua positif; di Q2 hanya sin⁡\sin positif; di Q3 hanya tan⁡\tan positif; di Q4 hanya cos⁡\cos positif.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Arti tiap simbol: tan⁡θ\tan\theta positif saat sin⁡θ\sin\theta dan cos⁡θ\cos\theta ber tanda sama (Q1 dan Q3), negatif saat berbeda tanda (Q2 dan Q4).

Plot di bawah memperlihatkan tiga kurva sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, tan⁡x\tan x sepanjang 00 sampai 2π2\pi. Geser garis penanda xx dan amati tanda tiap kurva berubah saat memasuki kuadran baru — pola ASTC terbaca langsung dari grafik.

Bayangkan lingkaran satuan sebagai jam: kuadran I adalah jam 12–3 (kanan-atas), kuadran II jam 9–12 (kiri-atas), dan seterusnya. Setiap kali titik “menyeberang” sumbu-y, hanya sin yang bertanda tetap; setiap kali menyeberang sumbu-x, hanya cos yang bertanda tetap. Pola ini keluar dengan sendirinya dari posisi titik.

Sudut acuan: pintu ke sudut berelasi

Untuk sudut di kuadran II–IV, sudut acuan α\alpha adalah sudut lancip terkecil antara sudut itu dengan sumbu-x terdekat. Nilai trigonometri sudut berelasi = nilai trigonometri sudut acuan, dikalikan tanda kuadran (pola ASTC). Inilah jembatan yang membuat sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ = \sin 30^\circ dan cos⁡210∘=−cos⁡30∘\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ.

α=min⁡(θ,180∘−θ,θ−180∘,360∘−θ)\alpha = \min(\theta, 180^\circ - \theta, \theta - 180^\circ, 360^\circ - \theta)

Arti tiap simbol: α\alpha = sudut acuan (lancip, Q1); θ\theta = sudut asli. Pilih suku yang menghasilkan nilai 0∘0^\circ–90∘90^\circ. Rumus padanannya: Q2 α=180∘−θ\alpha=180^\circ-\theta; Q3 α=θ−180∘\alpha=\theta-180^\circ; Q4 α=360∘−θ\alpha=360^\circ-\theta.

Bangun di bawah memperlihatkan segitiga siku-siku di dalam lingkaran satuan: satu sisi miring dari pusat ke titik sudut, dan sudut acuan terbentuk dengan sumbu-x. Seret titik dan amati sudut acuannya selalu lancip.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Aljabar) sering memberi satu nilai trigonometri di kuadran tertentu lalu meminta nilai fungsi lain. Triknya: tentukan kuadran → pakai ASTC untuk tanda → cari sudut acuan → hitung. Latih kecepatan ini hingga otomatis.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui θ\theta di kuadran IV dengan cos⁡θ=12\cos\theta = \tfrac{1}{2}. Tentukan sin⁡θ\sin\theta dan tan⁡θ\tan\theta.

cos⁡θ=12\cos\theta = \tfrac{1}{2} berarti sudut acuan α=60∘\alpha = 60^\circ (karena cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}). Nilai mutlak semua fungsi trigonometri θ\theta sama dengan nilai di sudut acuan.

Kuadran IV → hanya cos⁡\cos positif, jadi sin⁡\sin negatif. sin⁡θ=−sin⁡60∘=−32\sin\theta = -\sin 60^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−3212=−3\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = -\sqrt{3}. Jadi sin⁡θ=−32\sin\theta = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} dan tan⁡θ=−3\tan\theta = -\sqrt{3}.

Latih kecepatan menentukan sudut acuan dari sudut acak di bawah.

Jebakan: mengira semua fungsi trigonometri bernilai sama dengan sudut acuannya tanpa memperhatikan tanda kuadran. Yang benar: nilai mutlaknya sama, tetapi tanda mengikuti pola ASTC — misalnya cos⁡150∘=−cos⁡30∘\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ, bukan +cos⁡30∘+\cos 30^\circ.

Jebakan: salah menentukan kuadran karena keliru membagi rentang. Yang benar: Q1 = 0∘0^\circ–90∘90^\circ, Q2 = 90∘90^\circ–180∘180^\circ, Q3 = 180∘180^\circ–270∘270^\circ, Q4 = 270∘270^\circ–360∘360^\circ. Sudut tepat di batas (seperti 180∘180^\circ) tak masuk kuadran mana pun.

  • Sudut di kuadran II–IV berelasi dengan sudut lancip via sudut acuan.
  • Pola tanda ASTC: Q1 All, Q2 Sin, Q3 Tan, Q4 Cos.
  • Sudut acuan: Q2 180∘−θ180^\circ-\theta; Q3 θ−180∘\theta-180^\circ; Q4 360∘−θ360^\circ-\theta.
  • Nilai mutlak fungsi = nilai di sudut acuan; tanda = pola ASTC.
  • cos⁡θ\cos\theta ikut sumbu-x, sin⁡θ\sin\theta ikut sumbu-y di lingkaran satuan.