Sin, Cos, Tan: Perbandingan Sisi Segitiga — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa mendefinisikan sin, cos, dan tan sebagai perbandingan sisi segitiga siku-siku dan menjelaskan kenapa nilainya tak bergantung pada ukuran.

Pernah memiringkan papan seluncur dan melihat kemiringannya berubah? Satu sudut, dan tiga perbandingan sisi dalam segitiga siku-sikutu langsung ikut terukur. Tiga nama itu — sinus, cosinus, tangen — sebenarnya hanya tiga cara berbeda membaca bentuk yang sama. Seret titik di bawah, dan lihat bagaimana satu sudut menentukan segalanya.

Seret titik sudut untuk mengubah sudut acuan, lalu perhatikan bagaimana tiga perbandingan sisi (sin, cos, tan) ikut berubah.

Tiga sisi relatif terhadap sudut acuan

Trigonometri dimulai dari satu keputusan: pilih sebuah sudut acuan pada segitiga siku-siku, lalu namai tiga sisinya berdasarkan posisinya terhadap sudut itu. Sisi di hadapan sudut siku tetap disebut sisi miring (hipotenusa) — sisi terpanjang. Dari sudut acuan, sisi yang berada tepat di depannya disebut sisi depan (atau sisi depan sudut), sedangkan sisi lain yang membentuk sudut acuan disebut sisi hadap (atau sisi samping).

Relatif terhadap sudut acuan $\theta$ : sisi depan adalah sisi di hadapan $\theta$ , sisi hadap adalah sisi lain yang membentuk $\theta$ , dan sisi miring adalah sisi di hadapan sudut siku (selalu terpanjang).

Pada bangun di atas, sudut acuan ada di titik A (titik kiri bawah). Sisi miring adalah AC, sisi depan sudut A adalah BC (tegak), dan sisi hadap sudut A adalah AB (mendatar). Coba seret titik C: sudut acuan akan berubah, dan otomatis menentukan mana yang jadi sisi depan atau hadap.

Sinus: sisi depan dibagi sisi miring

Sinus dari sudut $\theta$ , ditulis $\sin \theta$ , adalah perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miring. Karena sisi miring selalu yang terpanjang, nilai sinus tidak pernah melebihi 1 untuk sudut lancip.

$\sin \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$

Arti tiap simbol: $\theta$ = sudut acuan; pembilang = sisi di depan $\theta$ ; penyebut = sisi miring.

Geser titik C di bawah untuk mengubah sudut. Saat sudut membesar, sisi depan ikut memanjang relatif terhadap sisi miring, sehingga $\sin \theta$ mendekati 1. Saat sudut mengecil, sisi depan makin pendek dan $\sin \theta$ mendekati 0.

Cosinus: sisi hadap dibagi sisi miring

Cosinus dari $\theta$ , ditulis $\cos \theta$ , adalah perbandingan sisi hadap dengan sisi miring. Sinus dan cosinus seperti dua sisi mata uang yang sama: keduanya berbagi penyebut (sisi miring), tetapi memilih sisi pembilang yang berbeda — sinus memilih sisi depan, cosinus memilih sisi hadap.

$\cos \theta = \frac{\text{sisi hadap}}{\text{sisi miring}}$

Arti tiap simbol: $\theta$ = sudut acuan; pembilang = sisi yang membentuk $\theta$ (bukan sisi miring); penyebut = sisi miring.

Saat sudut acuan membesar, sisi hadap justru makin pendek relatif terhadap sisi miring, sehingga $\cos \theta$ menurun. Perilakunya berlawanan dengan sinus — kalau satu naik, yang lain turun.

Tangen: sisi depan dibagi sisi hadap

Tangen, $\tan \theta$ , membuang sisi miring dan hanya membandingkan dua sisi siku-siku: sisi depan dibagi sisi hadap. Karena tidak ada pembatasan oleh sisi terpanjang, nilai tangen bisa lebih besar dari 1 — bahkan bisa sangat besar saat sudut mendekati 90°.

$\tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi hadap}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Arti tiap simbol: $\theta$ = sudut acuan; pembilang = sisi depan; penyebut = sisi hadap. Hubungan dengan sin dan cos: $\tan \theta$ juga sama dengan $\sin \theta$ dibagi $\cos \theta$ .

Seret titik C di bawah: saat sudut acuan membesar, sisi depan memanjang dan sisi hadap makin pendek, sehingga $\tan \theta$ melonjak cepat. Pada 45° kedua sisi sama panjang dan $\tan 45^\circ = 1$ .

Tiga perbandingan ini sebenarnya hanya tiga jendela berbeda mengamati bentuk yang sama. Sinus melihat dari sudut “berapa tinggi relatif miring?”, cosinus “berapa jauh relatif miring?”, tangen “berapa tinggi relatif jauh?”. Sudut yang sama, tiga cara bicara.

Kesebangunan: skala berubah, rasio tetap

Pertanyaan kunci: apakah nilai $\sin 30^\circ$ berbeda pada segitiga kecil dibanding segitiga besar? Tidak. Inilah inti kesebangunan. Dua segitiga siku-siku dengan sudut yang sama adalah sebangun — semua sisinya berbanding lurus. Karena sin, cos, tan hanyalah perbandingan antar sisi, mengubah skala (memperbesar atau memperkecil seluruh segitiga) tidak mengubah perbandingannya. Inilah mengapa nilai trigonometri hanya bergantung pada sudut, bukan ukuran.

Buktikan di bawah: dua preset berbeda memakai sudut yang sama (sekitar 37°) tetapi ukuran segitiga berbeda. Bandingkan rasio trigonometrinya — keduanya identik meski sisinya berbeda panjang.

Sudut istimewa: 30°, 45°, 60°

Tiga sudut ini muncul terus-menerus karena berasal dari bangun simetris yang mudah dibayangkan: segitiga sama sisi (yang jika dibelah dua memberi sudut 30° dan 60°) dan persegi (yang diagonalnya membentuk 45°). Nilai trigonometrinya bersih dan layak dihafal.

Sudut $\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$30^\circ$	$0,5$	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$	$\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,58$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71$	$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$	$0,5$	$\sqrt{3} \approx 1,73$

Coba muat ketiga preset di bawah, lalu bandingkan rasio yang terhitung dengan angka di tabel — harus cocok. Karena kesebangunan, kamu tak perlu menghafal sin 60° untuk segitiga sebesar apa pun; sudut 60° selalu memberi rasio yang sama.

Di TKA dan UTBK, perbandingan trigonometri dasar adalah pintu ke banyak topik: sudut elevasi-depresi, identitas, sampai dimensi tiga. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan geometri sebagai cakupan resmi, termasuk segitiga siku-siku. Jebakan paling sering: tertukar antara sisi depan dan sisi hadap — selalu tandai dulu mana sudut acuan, baru namai sisinya.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Pada segitiga siku-siku, sisi miringnya berukuran 10 dan salah satu sudut lancipnya $30^\circ$ . Berapa panjang sisi depan dan sisi hadap sudut $30^\circ$ tersebut?

Sudut acuan adalah $30^\circ$ . Sisi miring $= 10$ (di hadapan sudut siku). Sisi depan sudut $30^\circ$ belum diketahui — sebut saja $d$ . Sisi hadap sudut $30^\circ$ — sebut saja $h$ .

$\sin 30^\circ = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \frac{d}{10}$ . Karena $\sin 30^\circ = 0,5$ , maka $0,5 = \frac{d}{10}$ , sehingga $d = 5$ .

$\cos 30^\circ = \frac{\text{sisi hadap}}{\text{sisi miring}} = \frac{h}{10}$ . Karena $\cos 30^\circ \approx 0,87$ , maka $0,87 = \frac{h}{10}$ , sehingga $h \approx 8,7$ . (Tepatnya $h = 5\sqrt{3} \approx 8,66$ .)

Cocokkan jawabanmu di segitiga di bawah: muat preset 30-60-90, lalu bandingkan rasio yang muncul — sisi depan sudut acuan harus sekitar 0,5 dari sisi miring, dan sisi hadap sekitar 0,87 dari sisi miring.

Jebakan: tertukar sisi depan dan sisi hadap. Yang benar: sisi depan adalah sisi di hadapan sudut acuan, sisi hadap adalah sisi yang membentuk sudut acuan. Selalu tandai dulu sudut acuan sebelum menamai sisi — ganti sudut acuan, ganti pula penamaannya.

Jebakan: mengira nilai sin, cos, tan berubah saat segitiga diperbesar. Yang benar: kesebangunan menjamin nilai trigonometri hanya bergantung pada sudut. Dua segitiga dengan sudut sama, berapa pun ukurannya, memberi sin, cos, tan yang persis sama.

Trigonometri dasar: namai sisi relatif sudut acuan — miring, depan, hadap.
$\sin \theta = \frac{\text{depan}}{\text{miring}}$ , $\cos \theta = \frac{\text{hadap}}{\text{miring}}$ , $\tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{hadap}}$ .
Kesebangunan: dua segitiga bersudut sama memberi rasio trigonometri identik.
Sudut istimewa 30°, 45°, 60° punya nilai bersih yang layak dihafal.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ — hubungan yang menyatukan ketiganya.