Memodelkan Fenomena Periodik — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menyusun fungsi sinusoidal $y=A\sin(B(x-C))+D$ untuk memodelkan fenomena berulang dan memprediksi nilainya.

Kabin bianglala naik-turun, air laut pasang-surut setiap hari, suhu tubuh naik-turun mengikuti jam biologis — semua berulang dengan pola yang bisa diprediksi. Pola itu bukan garis lurus, melainkan gelombang. Begitu kamu mengenali empat parameter gelombang, kamu bisa menulis rumus yang meramalkan tinggi kabin bianglala di detik mana pun. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider waktu $t$ pada plot bianglala dan perhatikan titik kabin naik-turun mengikuti kurva sinus.

Bentuk umum model sinusoidal

Fenomena periodik (berulang) dimodelkan dengan fungsi sinusoidal berbentuk $y = A\sin(B(x-C)) + D$ . Empat parameter $A$ , $B$ , $C$ , $D$ punya makna fisik yang langsung terbaca dari konteks: amplitudo, periode, pergeseran fase, dan nilai rata-rata.

Fungsi sinusoidal adalah fungsi bentuk $y = A\sin(B(x-C)) + D$ yang grafiknya berupa gelombang berulang. Pemodelan periodik adalah proses memilih nilai $A$ , $B$ , $C$ , $D$ agar kurva menempel pada data fenomena nyata.

Roda bianglala di bawah menggambarkan asal geometris model ini: kabin terikat pada roda yang berputar, dan tingginya adalah nilai sinus terhadap waktu. Seret titik dan amati posisi kabin.

Membaca parameter dari konteks

Setiap parameter punya makna konkret. $D$ = nilai rata-rata (garis tengah gelombang) — untuk bianglala, tinggi poros roda. $A$ = amplitudo (setengah rentang naik-turun) — jari-jari roda. Periode = lama satu siklus penuh; $B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$ . $C$ = pergeseran fase (kapan siklus dimulai).

$y = A\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}(x - C)\right) + D$

Arti tiap simbol: $A$ = amplitudo; $T$ = periode; $C$ = pergeseran horizontal; $D$ = nilai rata-rata. Nilai $y$ berosilasi di antara $D-A$ (titik terendah) dan $D+A$ (titik tertinggi).

Contoh: pasang surut air laut

Air laut naik ke puncak $3{,}5$ m lalu surut ke $0{,}5$ m, dan siklus penuh berlangsung $12{,}4$ jam. Maka $D = \frac{3{,}5+0{,}5}{2} = 2$ , $A = \frac{3{,}5-0{,}5}{2} = 1{,}5$ , dan $B = \frac{2\pi}{12{,}4} \approx 0{,}507$ . Plot di bawah memperlihatkan kurva model pasang surut; titik penanda membaca tinggi air di jam tertentu.

Mengatur parameter secara bebas

Untuk benar-benar merasakan tiap parameter, geser slider $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pada plot di bawah. Amati bagaimana kurva meregang-menciut (amplitudo), cepat-lambat berulang (periode), bergeser kiri-kanan (fase), dan naik-turun sejajar (nilai rata-rata).

Pikirkan $D$ sebagai “lantai baru” — semua gelombang digeser naik-turun bersama. $A$ adalah “kehebatan ayunan” — makin besar $A$ , makin jauh puncak-lembah dari lantai. $B$ mengatur “berapa kali berayun dalam satu satuan x”. $C$ menggeser “kapan ayunan dimulai”.

Soal pemodelan periodik sering muncul di TKA Matematika Tingkat Lanjut (kerangka 045/H/AN/2025, elemen Aljabar) sebagai soal cerita: diberi nilai puncak-lembah dan periode, ditanya rumus model atau ramalan nilai di waktu tertentu. Triknya: hitung $D$ dan $A$ dari puncak-lembah, lalu $B$ dari periode, lalu substitusi waktu untuk meramal.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Suhu permukaan sebuah kota berosilasi antara $18^\circ$ (pukul 04.00) dan $32^\circ$ (pukul 16.00). Susun model sinusoidal dan tentukan suhu pukul 10.00.

Nilai rata-rata $D = \frac{18+32}{2} = 25$ . Amplitudo $A = \frac{32-18}{2} = 7$ .

Satu siklus penuh (panas-turun-dingin-naik) berlangsung $24$ jam, jadi $B = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$ .

Pilih fase agar puncak di $x=16$ (pukul 16.00): pakai kosinus, $y = 25 + 7\cos\!\left(\frac{\pi}{12}(x-16)\right)$ . Di $x=10$ : $y = 25 + 7\cos\!\left(\frac{\pi}{12}\cdot(-6)\right) = 25 + 7\cos(-\frac{\pi}{2}) = 25 + 0 = 25$ . Jadi suhu pukul 10.00 kira-kira $25^\circ$ .

Latih menyusun amplitudo dari data puncak-lembah acak di bawah.

Jebakan: menyamakan $B$ dengan periode. Yang benar: $B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$ . Bila periode $12$ jam, maka $B = \frac{\pi}{6}$ , bukan $12$ . Tukar keduanya membuat kurva berfrekuensi sangat berbeda dari data.

Jebakan: menghitung amplitudo sebagai puncak dikurangi lembah (tanpa dibagi dua). Yang benar: amplitudo = setengah rentang, $A = \frac{\text{puncak} - \text{lembah}}{2}$ . Nilai puncak dikurangi lembah adalah rentang penuh (dua kali amplitudo).

Model sinusoidal: $y = A\sin\!\left(\frac{2\pi}{T}(x-C)\right) + D$ .
$A$ = amplitudo = setengah rentang puncak-lembah.
$D$ = nilai rata-rata = rata-rata puncak dan lembah.
$B = \frac{2\pi}{\text{periode}}$ ; $C$ = pergeseran fase (awal siklus).
Substitusi waktu $x$ untuk meramal nilai fenomena di saat tertentu.