Identitas Dasar: sin² + cos² = 1 — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa membuktikan identitas Pythagoras trigonometri $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ dan identitas $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$ lewat segitiga siku-siku.

Ambil segitiga siku-siku apa pun dengan sisi miring 1. Kuadratkan dua sisi siku-sikunya, jumlahkan — hasilnya selalu 1, tanpa peduli sudutnya. Inilah Teorema Pythagoras yang sedang menyamar sebagai trigonometri: karena sisi depan = $\sin \theta$ dan sisi hadap = $\cos \theta$ , jumlah kuadratnya menjadi $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ . Identitas paling terkenal di matematika hanyalah Pythagoras yang berpakaian rapi. Coba lihat sendiri di bawah.

Seret titik sudut untuk mengubah sudut $\theta$ , lalu amati bagaimana luas dua persegi sin² dan cos² berubah namun jumlahnya selalu penuh satu satuan.

Pythagoras menyamar jadi trigonometri

Mulai dari Teorema Pythagoras yang sudah kamu kenal: pada segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $a$ dan $b$ serta sisi miring $c$ , berlaku $a^2 + b^2 = c^2$ . Sekarang pilih segitiga yang sisi miringnya tepat panjangnya 1, sehingga $c = 1$ dan persamaannya menjadi $a^2 + b^2 = 1$ .

Lalu namai kedua sisi siku-siku itu relatif terhadap sudut acuan $\theta$ : sisi depan = $b$ , sisi hadap = $a$ . Karena sisi miring = 1, definisi trigonometri memberi $\sin \theta = \dfrac{b}{1} = b$ dan $\cos \theta = \dfrac{a}{1} = a$ . Substitusi ke Pythagoras:

$a^2 + b^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

Arti tiap simbol: $\theta$ = sudut acuan; $\sin \theta$ = sisi depan ÷ sisi miring; $\cos \theta$ = sisi hadap ÷ sisi miring; karena sisi miring = 1, sisi depan = $\sin \theta$ dan sisi hadap = $\cos \theta$ .

Inilah identitas Pythagoras trigonometri — berlaku untuk semua sudut $\theta$ , karena berasal dari Teorema Pythagoras yang juga berlaku untuk semua segitiga siku-siku. Karena kesebangunan, hasilnya tak bergantung pada ukuran segitiga; memilih sisi miring = 1 hanyalah trik pembuktian.

sin kuadrat + cos kuadrat selalu 1

Pada bangun di bawah, tiga persegi tumbuh di sisi segitiga siku-siku bersisi miring 1. Persegi pada sisi depan berluas $\sin^2 \theta$ , persegi pada sisi hadap berluas $\cos^2 \theta$ , dan persegi pada sisi miring berluas $1^2 = 1$ . Seret titik sudut — kedua persegi kecil mengecil-membesar bergantian, tetapi jika kamu jumlahkan luasnya, hasilnya selalu pas memenuhi persegi satuan sisi miring.

Identitas Pythagoras trigonometri: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , berlaku untuk setiap sudut $\theta$ . Berasal langsung dari Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku bersisi miring 1.

Tangen = sin per cos

Identitas kedua yang sama pentingnya menghubungkan tangen dengan sin dan cos. Dari definisi: $\tan \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi hadap}}$ . Karena $\sin \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}$ dan $\cos \theta = \dfrac{\text{sisi hadap}}{\text{sisi miring}}$ , membagi sin dengan cos akan mencoret sisi miring:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{depan}/\text{miring}}{\text{hadap}/\text{miring}} = \frac{\text{depan}}{\text{hadap}}$

Arti tiap simbol: $\tan \theta$ = sisi depan ÷ sisi hadap; $\sin \theta$ = depan ÷ miring; $\cos \theta$ = hadap ÷ miring; membagi sin/cos mencoret sisi miring sehingga tinggal depan/hadap.

Pada bangun di bawah, sudut acuan di $A$ menampilkan ketiga rasio trigonometri sekaligus. Perhatikan nilai $\tan \theta$ = nilai $\sin \theta$ dibagi nilai $\cos \theta$ di setiap sudut — identitas ini konsekuensi langsung dari definisi.

Kedua identitas ini bukan rumus yang harus dihafal mati — keduanya cuma menyatakan ulang Teorema Pythagoras dan definisi tangen. Kalau kamu lupa $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , cukup ingat segitiga siku-siku bersisi miring 1: sisi depan = $\sin \theta$ , sisi hadap = $\cos \theta$ , dan Pythagoras mengikat keduanya.

Cek identitas di sudut istimewa

Identitas harus berlaku di sudut mana pun, termasuk sudut istimewa. Cek $30^\circ$ : $\sin 30^\circ = 0{,}5$ jadi $\sin^2 30^\circ = 0{,}25$ ; $\cos 30^\circ \approx 0{,}87$ jadi $\cos^2 30^\circ \approx 0{,}75$ ; jumlahnya $0{,}25 + 0{,}75 = 1$ . Cek $45^\circ$ : $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ \approx 0{,}71$ , sehingga $\sin^2 + \cos^2 \approx 0{,}5 + 0{,}5 = 1$ . Pada bangun di bawah, muat preset sudut istimewa dan bandingkan rasio trigonometri yang terhitung — identitasnya selalu cocok.

Identitas Pythagoras adalah gerbang ke semua pembuktian identitas trigonometri di TKA Matematika Tingkat Lanjut dan soal UTBK Pengetahuan Kuantitatif. Triknya: bila soal memuat $\sin^2 \theta$ atau $\cos^2 \theta$ , hampir selalu ganti salah satunya dengan $1 - \cos^2 \theta$ atau $1 - \sin^2 \theta$ lewat identitas ini. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan identitas trigonometri pada elemen Aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $\sin \theta = \dfrac{3}{5}$ dengan $\theta$ sudut lancip. Tentukan $\cos \theta$ dan $\tan \theta$ tanpa mengukur sudutnya.

Dari $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , substitusi $\sin \theta = 3/5$ : $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$ , yaitu $\dfrac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1$ .

$\cos^2 \theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{25 - 9}{25} = \dfrac{16}{25}$ . Karena $\theta$ lancip, $\cos \theta$ positif: $\cos \theta = \dfrac{4}{5}$ .

$\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$ . Jadi $\cos \theta = \dfrac{4}{5}$ dan $\tan \theta = \dfrac{3}{4}$ . (Cocok dengan segitiga 3-4-5!)

Latih kecepatan menghitung $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ untuk membuktikan identitas itu sendiri dengan angka acak di bawah.

Jebakan: menulis $\sin^2 \theta$ sebagai $\sin(\theta^2)$ — mengkuadratkan sudutnya, bukan nilainya. Yang benar: $\sin^2 \theta = (\sin \theta)^2$ — kuadrat menempel pada nilai $\sin \theta$ , bukan pada sudut $\theta$ .

Jebakan: lupa memeriksa tanda saat mengakarkan $\cos^2 \theta$ untuk mencari $\cos \theta$ . Yang benar: $\cos \theta = \pm\sqrt{\cos^2 \theta}$ — tanda ditentukan oleh kuadran sudut. Untuk sudut lancip, $\cos \theta$ positif; untuk sudut di kuadran II, negatif.

Identitas Pythagoras: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , untuk semua sudut $\theta$ .
Berasal dari Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku bersisi miring 1.
Identitas tangen: $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$ — dari coret sisi miring.
Dari $\sin \theta$ saja kamu bisa cari $\cos \theta$ (dan sebaliknya) lewat identitas.
$\sin^2 \theta$ artinya $(\sin \theta)^2$ ; periksa tanda saat mengakar.