Merangkai Banyak Transformasi: Urutan Berpengaruh — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa merangkai beberapa transformasi fungsi berurutan dan menjelaskan mengapa urutan pengerjaan memengaruhi hasil akhir.

Satu transformasi sudah cukup menarik — parabola bisa diregang, digeser, atau dibalik. Tapi dunia nyata jarang hanya satu langkah. Bayangkan sebuah bingkai foto yang kamu regang dulu, lalu geser, lalu balik; hasilnya berbeda dengan bingkai yang kamu geser dulu, lalu balik, lalu regang. Demikian pula grafik fungsi: saat beberapa transformasi dirangkai, urutan langkahnya menentukan posisi akhir kurva. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser slider $a$ , $h$ , dan $k$ , lalu amati parabola diregang, digeser, dan diubah puncaknya sekaligus.

Bentuk vertex: rangkaian tiga transformasi

Parabola $y = a(x - h)^2 + k$ adalah rangkaian tiga transformasi sekaligus pada $y = x^2$ : regangan tegak sebesar $a$ , geser menyamping sejauh $h$ , dan geser tegak sejauh $k$ . Puncaknya pindah dari $(0, 0)$ ke $(h, k)$ . Inilah wujud paling lazim dari kombinasi transformasi.

Bentuk vertex $y = a(x - h)^2 + k$ mengemas tiga transformasi: pengali $a$ (regang/pantul tegak), geser horizontal $h$ , dan geser vertikal $k$ , sehingga puncak parabola berada di $(h, k)$ .

Kunci membaca bentuk ini: kerjakan dari dalam ke luar, persis seperti urutan operasi aritmetika. Dalam kurung dikerjakan dulu (geser horizontal), lalu pangkat (bentuk parabola), lalu pengali luar (regang/pantul), terakhir konstanta paling luar (geser vertikal). Urutan inilah yang membuat tanda minus di dalam terasa “terbalik”: $(x - h)$ menggeser ke kanan sebesar $h$ positif.

Mengapa urutan berpengaruh

Saat dua atau lebih transformasi berbeda jenis dirangkai, urutan pengerjaan sering mengubah hasil. Ambil parabola $y = x^2$ . Kalau kamu menggeser dulu ke kanan 2 lalu meregang tegak 2, kamu dapat $y = 2(x - 2)^2$ . Tapi kalau kamu meregang dulu 2 lalu menggeser ke kanan 2, kamu dapat $y = (x - 2)^2 \cdot 2$ — secara matematis sama, karena regangan tegak dan geser horizontal tidak saling mengganggu.

Tapi saat refleksi turut campur, urutan mulai penting. Geser lalu refleksi-vertikal menghasilkan parabola berbeda dengan refleksi-vertikal dulu lalu geser. Inilah inti peringatan “urutan berpengaruh”.

Pikirkan kombinasi transformasi seperti memakai baju: kaos dulu baru jaket menghasilkan tampilan berbeda dengan jaket dulu baru kaos (yang malah tidak muat). Refleksi dan translasi “berinteraksi” karena refleksi membalik arah geseran yang menyusul — itulah mengapa urutan mereka mengubah hasil.

Pada plot di bawah, dua kurva hasil parabola menunjukkan dampak urutan. Kurva pertama (aksen1) menggeser lalu meregang: $y = 2(x - 2)^2 + 1$ . Kurva kedua (aksen2) meregang lalu menggeser dengan k yang sama: hasilnya berbeda puncak dan bentuk saat refleksi terlibat. Slider menukar urutan agar perbedaannya terlihat.

Refleksi di akhir rangkaian

Refleksi adalah jenis transformasi yang paling sensitif terhadap urutan. Bentuk $y = -f(x - h) + k$ memantulkan hasil akhir ke bawah lalu menggesernya naik sebesar $k$ . Sebaliknya, $y = f(-(x - h)) + k$ memantulkan horizontal — parabola yang simetris (seperti $x^2$ ) tidak berubah, tapi fungsi ganjil seperti $x^3$ akan berbalik arah.

$y = -a(x - h)^2 + k \quad \text{(refleksi vertikal + regang + geser)}$

Arti tiap simbol: $a$ faktor regangan, tanda minus di luar refleksi vertikal (parabola terbuka ke bawah), $h$ geser horizontal, $k$ geser vertikal, puncak di $(h, k)$ .

Pada plot di bawah, parabola $y = -2(x - 1)^2 + 3$ (aksen1) adalah rangkaian penuh: regang 2, geser kanan 1, refleksi vertikal, geser naik 3. Puncaknya di $(1, 3)$ dan terbuka ke bawah. Bandingkan dengan dasar $y = x^2$ (netral) — kombinasi ini mengubah parabola hampir tak kenal.

Soal UTBK Pengetahuan Kuantitatif kerap menampilkan grafik hasil beberapa transformasi dan menanyakan nilai parameter, atau meminta urutan transformasi yang menghasilkan grafik tertentu. Triknya: kerjakan dari dalam ke luar, dan tandai puncak/titik potong untuk melacak perpindahan. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan transformasi fungsi sebagai cakupan resmi elemen aljabar.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Parabola $y = x^2$ ditransformasi menjadi $y = -2(x + 3)^2 + 4$ . Tentukan urutan empat transformasi yang terjadi dan koordinat titik hasil untuk $x = 1$ .

Dari $y = -2(x + 3)^2 + 4$ terbaca $a = -2$ , $h = -3$ (karena $x + 3 = x - (-3)$ ), dan $k = 4$ .

Urutannya: (1) geser kiri 3 satuan, (2) regang tegak 2 kali, (3) refleksi vertikal (karena tanda minus di luar), (4) geser naik 4 satuan. Puncak berpindah ke $(-3, 4)$ .

Substitusi $x = 1$ : $y = -2(1 + 3)^2 + 4 = -2(16) + 4 = -32 + 4 = -28$ . Jadi titik hasilnya $(1, -28)$ .

Latih kecepatan menghitung titik hasil kombinasi transformasi dengan angka acak di bawah.

Jebakan: pada $y = (x + 3)^2$ , menyimpulkan parabola digeser ke kiri 3 (salah) atau kanan 3. Yang benar: $x + 3 = x - (-3)$ berarti $h = -3$ , sehingga parabola digeser ke kiri 3 satuan. Tanda dalam kurung selalu terbalik dari intuisi.

Jebakan: mengira urutan refleksi dan translasi tidak berpengaruh. Yang benar: refleksi membalik arah, sehingga geseran yang menyusul terbaca terbalik — menukar urutan kedua transformasi ini menghasilkan kurva berbeda.

Bentuk vertex $y = a(x - h)^2 + k$ mengemas regangan $a$ , geser horizontal $h$ , dan geser vertikal $k$ .
Kerjakan kombinasi dari dalam ke luar: kurung, pangkat, pengali luar, konstanta.
Tanda dalam kurung terbalik dari intuisi: $(x - h)$ geser kanan sejauh $h$ positif.
Urutan refleksi dan translasi berpengaruh: refleksi membalik arah geseran yang menyusul.
Puncak parabola hasil berada di $(h, k)$ ; tandai untuk melacak perpindahan.