Kuartil, Jangkauan & Jangkauan Interkuartil — Matematika Kelas 10

Setelah ini kamu bisa membagi data terurut menjadi empat kuartil, menghitung jangkauan dan jangkauan interkuartil (IQR), serta mendeteksi pencilan lewat aturan 1,5 IQR.

Mean dua kelompok bisa sama, tetapi sebarannya sangat berbeda. Kelas A punya nilai rapat 70-80; kelas B punya nilai terpencar 50-100 dengan rata-rata yang sama. Untuk membedakan keduanya, kamu butuh ukuran penyebaran — dan kuartil adalah salah satu yang paling kuat karena tahan terhadap pencilan. Coba lihat sendiri di bawah bagaimana Q1, Q2, Q3 membagi data menjadi empat bagian.

Coba seret satu titik ke kanan sejauh-jauhnya, lalu perhatikan garis Q1, Q2, Q3 yang membagi data jadi empat.

Empat kuartil: membelah data terurut

Kuartil membagi data yang sudah terurut menjadi empat bagian kira-kira sama banyak. Q1 (kuartil pertama) adalah nilai yang menandai batas 25% data terbawah; Q2 adalah median (batas 50%); Q3 menandai batas 75%. Tiap seperempat antara dua kuartil berisi sekitar 25% data.

Kuartil adalah tiga nilai (Q1, Q2, Q3) yang membagi data terurut menjadi empat bagian sama banyak; Q2 sama dengan median.

Kenapa dibagi empat, bukan dua (median)? Karena dua titik (median saja) hanya memberi tahu pusat, sedangkan tiga titik (Q1, Q2, Q3) juga memberi tahu seberapa lebar data menyebar. Jarak Q1 ke Q3 mencakup setengah data yang paling tengah — inti sebaran.

Mencari posisi Q1, Q2, Q3

Cara paling lazim (metode interpolasi linier, sama dengan Excel QUARTILE.INC): setelah data terurut, Q2 = median. Lalu Q1 = median dari paruh bawah, Q3 = median dari paruh atas. Pada dot plot di bawah, tiga garis kuartil otomatis dihitung dan ditampilkan; geser titik untuk merasakan bagaimana posisi Q1, Q2, Q3 bergeser saat data berubah.

Jangkauan: sederhana tapi rapuh

Jangkauan (range) adalah ukuran penyebaran paling sederhana: selisih antara nilai terbesar dan terkecil. Mudah dihitung, tetapi rapuh — ia hanya melihat dua titik ekstrem, sehingga satu pencilan saja sudah membuat jangkauan melar tidak proporsional.

$Jangkauan = x_{maks} - x_{min}$

Arti tiap simbol: $x_{maks}$ = nilai data terbesar, $x_{min}$ = nilai data terkecil.

Pada dot plot di bawah, dua preset menunjukkan data yang hampir sama, tetapi satu di antaranya menambahkan sebuah pencilan. Perhatikan bagaimana jangkauan membengkak sekaligus saat satu titik melar.

IQR: jangkauan yang tahan pencilan

Karena jangkauan rapuh, statistikus memakai jangkauan interkuartil (IQR): selisih antara Q3 dan Q1. IQR hanya melihat 50% data di tengah, jadi ia tidak terganggu oleh nilai ekstrem di kedua ujung. Inilah mengapa IQR disebut ukuran penyebaran yang tahan banting (robust).

$IQR = Q_3 - Q_1$

Arti tiap simbol: $Q_3$ = kuartil ketiga, $Q_1$ = kuartil pertama.

Pada dot plot di bawah, bandingkan dua preset yang memuat pencilan berbeda. IQR tetap diam di kisaran yang sama karena ia hanya melihat paruh tengah data — terbukti tahan terhadap pencilan.

Kalau jangkauan seperti mengukur lebar seluruh kamar dari ujung ke ujung, IQR seperti mengukur lebar di tengah kamar saja — di mana sebagian besar perabot berada. Satu lemari yang menjorok ke sudut tidak akan mengubah ukuran tengah, tetapi membuat jangkauan total melar.

Deteksi pencilan dengan aturan 1,5 IQR

IQR bukan sekadar ukuran penyebaran; ia juga alat mendeteksi pencilan (outlier). Aturannya: sebuah nilai dianggap pencilan jika kurang dari $Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR$ atau lebih dari $Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR$ . Batas-batas ini disebut pagar bawah dan pagar atas.

$PagarBawah = Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR, \quad PagarAtas = Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR$

Arti tiap simbol: $Q_1$ = kuartil pertama, $Q_3$ = kuartil ketiga, $IQR = Q_3 - Q_1$ .

Pada dot plot di bawah, sebuah pencilan ditempatkan jauh di luar pagar atas. Geser titik pencilan untuk melihat kapan ia melampaui pagar — dan kapan ia masih dianggap wajar.

Di TKA dan UTBK (kerangka 045/H/AN/2025), soal kuartil-IQR sering menyodorkan data berpencilan lalu bertanya nilai Q1, Q3, atau IQR. Jebakan paling sering: salah urutan data sebelum mencari kuartil, atau tertukar antara metode kuartil inklusif vs eksklusif. Selalu urutkan dulu, lalu pakai satu metode konsisten (di sini: interpolasi linier inklusif, sama dengan Excel QUARTILE.INC).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Data nilai ulangan sembilan siswa: $62, 70, 68, 75, 80, 72, 90, 65, 110$ . Tentukan Q1, Q3, IQR, lalu periksa apakah 110 adalah pencilan.

Urut naik: $62, 65, 68, 70, 72, 75, 80, 90, 110$ .

Median (Q2) = nilai tengah = 72 (posisi ke-5). Paruh bawah: $62, 65, 68, 70$ ; Q1 = median paruh bawah = $\frac{65+68}{2} = 66{,}5$ . Paruh atas: $75, 80, 90, 110$ ; Q3 = $\frac{80+90}{2} = 85$ .

$IQR = Q_3 - Q_1 = 85 - 66{,}5 = 18{,}5$ .

$1{,}5 \cdot IQR = 1{,}5 \cdot 18{,}5 = 27{,}75$ . Pagar atas $= Q_3 + 27{,}75 = 85 + 27{,}75 = 112{,}75$ . Karena $110 < 112{,}75$ , maka 110 BUKAN pencilan — ia masih di bawah pagar atas.

Kamu bisa latihan sejenis dengan angka acak di generator di bawah — hitung dulu di kertas, baru tekan tombol untuk memeriksa.

Jebakan: mencari kuartil tanpa mengurutkan data lebih dulu. Yang benar: kuartil selalu dihitung dari data yang sudah terurut dari kecil ke besar. Langkah pengurutan tidak boleh dilewati.

Jebakan: menganggap jangkauan dan IQR punya makna sama. Yang benar: jangkauan peka terhadap pencilan (hanya melihat dua ujung), sedangkan IQR tahan pencilan (hanya melihat paruh tengah). Pada data berpencilan, selalu utamakan IQR.

Kuartil Q1, Q2, Q3 membagi data terurut menjadi empat bagian kira-kira sama banyak.
Q2 sama dengan median; Q1 dan Q3 membatasi paruh bawah dan paruh atas.
Jangkauan = maksimum dikurang minimum; sederhana tetapi rapuh terhadap pencilan.
IQR = Q3 dikurang Q1; ukuran penyebaran yang tahan terhadap pencilan.
Pencilan terdeteksi lewat aturan 1,5 IQR: nilai di luar Q1-1,5IQR atau Q3+1,5IQR.