Transformasi Geometri: Geser, Cermin, Putar, Skala — Matematika Penyegaran SMP

Setelah ini kamu bisa melakukan translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi pada titik dan bangun beserta menentukan koordinat bayangannya.

Motif batik, pola ubin lantai, atau ornamen pagar — semuanya lahir dari empat gerakan dasar: menggeser, mencerminkan, memutar, dan membesar-kecilkan satu bentuk. Matamu memakai aturan ini tiap hari tanpa sadar, misalnya saat memastikan foto terlihat simetris atau menata ulang perabot. Bagaimana gerakan itu mengubah koordinat tiap titik di bidang Kartesius? Coba lihat sendiri di bawah.

Seret salah satu titik sudut bangun di bawah, lalu pilih preset untuk melihat bagaimana bayangannya berpindah.

Empat transformasi dasar

Transformasi geometri memetakan setiap titik di bidang ke sebuah titik baru yang disebut bayangan. Empat transformasi dasar yang kamu temui di SMP adalah translasi (menggeser), refleksi (mencermin), rotasi (memutar), dan dilatasi (membesar-kecilkan). Setiap transformasi punya aturan tetap untuk mengubah koordinat $(x, y)$ menjadi koordinat bayangan $(x', y')$ .

Transformasi geometri adalah suatu aturan yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik bayangannya. Bayangan dari titik $P$ biasa ditulis $P'$ (dibaca “P aksen”).

Bentuk dan ukuran bangun boleh berubah (dilatasi) atau tetap (translasi, refleksi, rotasi); yang penting adalah aturan pemetaannya konsisten untuk semua titik.

Translasi: menggeser sejajar sumbu

Translasi menggeser setiap titik sejauh $a$ satuan mendatar dan $b$ satuan vertikal. Tanda $a$ dan $b$ menentukan arah: positif ke kanan/atas, negatif ke kiri/bawah.

$(x, y) \rightarrow (x + a,\ y + b)$

Arti tiap simbol: $x, y$ = koordinat titik asli; $a$ = pergeseran mendatar; $b$ = pergeseran vertikal. Bayangan $P'(x', y')$ diperoleh dengan menambahkan $a$ pada absis dan $b$ pada ordinat.

Pada bangun di atas, preset “Geser (3, 2)” menggeser tiap titik 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas: $A(1,1) \rightarrow A'(4,3)$ , dan seterusnya. Luas bangun tidak berubah — translasi hanya memindahkan posisi.

Refleksi: bayangan cermin

Refleksi mencerminkan bangun terhadap sebuah garis (sumbu). Dua cermin paling sering dipakai adalah sumbu-x dan sumbu-y.

$\text{Sumbu-x: } (x, y) \rightarrow (x,\ -y) \qquad \text{Sumbu-y: } (x, y) \rightarrow (-x,\ y)$

Arti tiap simbol: refleksi terhadap sumbu-x membalik tanda ordinat (y); refleksi terhadap sumbu-y membalik tanda absis (x). Jarak titik ke garis cermin tetap sama, hanya berpindah sisi.

Geser titik di bawah dan amati bayangannya. Refleksi terhadap sumbu-x membuat bangun “terjungkir” vertikal; refleksi terhadap sumbu-y membuatnya “terjungkir” horizontal seperti bayangan di cermin.

Rotasi: memutar mengelilingi pusat

Rotasi memutar setiap titik mengelilingi sebuah titik pusat sebesar sudut tertentu. Rotasi paling sering dilakukan terhadap pusat $O(0,0)$ sebesar $90^\circ$ , $180^\circ$ , atau $270^\circ$ .

$(x, y) \xrightarrow{O,90^\circ} (-y,\ x) \qquad (x, y) \xrightarrow{O,180^\circ} (-x,\ -y)$

Arti tiap simbol: rotasi $90^\circ$ berlawanan jarum jam terhadap $O$ menukarkan absis-ordinat lalu membalik tanda absis baru; rotasi $180^\circ$ membalik kedua tanda. Sudut positif = berlawanan jarum jam.

Putar bangun di bawah lewat preset: $90^\circ$ , $180^\circ$ , dan $270^\circ$ . Perhatikan jarak setiap titik ke pusat $(0,0)$ tidak berubah — rotasi hanya mengubah arahnya.

Dilatasi: memperbesar atau memperkecil

Dilatasi mengubah ukuran bangun dari sebuah pusat dengan faktor skala $k$ . Jika $k > 1$ bangun membesar; jika $0 < k < 1$ bangun mengecil; jika $k$ negatif, bangangannya juga dibalik.

$(x, y) \rightarrow (k \cdot x,\ k \cdot y)$

Arti tiap simbol: $k$ = faktor skala (bilangan riil); pusat dilatasi adalah $O(0,0)$ . Luas bayangan menjadi $k^2$ kali luas asli karena kedua dimensi dikalikan $k$ .

Cara cepat menebak jenis transformasi: kalau bangun cuma pindah tempat tanpa berbalik arah, itu translasi. Kalau seperti terlihat di cermin, refleksi. Kalau seperti diputar, rotasi. Kalau ukurannya berubah, dilatasi.

Berlatih menghitung koordinat bayangan

Sebelum hafal semua kaidah, kuasai dulu translasi karena aturannya paling sederhana: tinggal tambahkan $(a, b)$ . Berlatihlah sampai refleks.

Transformasi geometri masuk elemen geometri-pengukuran kerangka TKA 045/H/AN/2025 (sebagai prasyarat pemahaman matriks transformasi di MTL) serta Pengetahuan Kuantitatif UTBK. Jebakan paling sering: tertukar aturan rotasi $90^\circ$ (jadi $(-y, x)$ , bukan $(y, -x)$ ), lupa faktor $k^2$ pada luas dilatasi, serta keliru menandai sumbu refleksi (sumbu-x membalik y, sumbu-y membalik x).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Segitiga dengan titik sudut $A(2, 1)$ , $B(5, 1)$ , dan $C(2, 4)$ ditransformasikan sebagai berikut. (a) Refleksi terhadap sumbu-y. (b) Rotasi $90^\circ$ berlawanan jarum jam terhadap pusat $O$ .

Kaidah refleksi sumbu-y: $(x, y) \rightarrow (-x, y)$ . Maka $A(2,1) \rightarrow A'(-2, 1)$ , $B(5,1) \rightarrow B'(-5, 1)$ , dan $C(2,4) \rightarrow C'(-2, 4)$ . Bayangannya pindah ke kuadran II.

Kaidah rotasi $90^\circ$ terhadap $O$ : $(x, y) \rightarrow (-y, x)$ . Maka $A(2,1) \rightarrow A''(-1, 2)$ , $B(5,1) \rightarrow B''(-1, 5)$ , dan $C(2,4) \rightarrow C''(-4, 2)$ . Bayangannya berada di kuadran II.

Bayangan refleksi sumbu-y: $A'(-2,1)$ , $B'(-5,1)$ , $C'(-2,4)$ . Bayangan rotasi $90^\circ$ : $A''(-1,2)$ , $B''(-1,5)$ , $C''(-4,2)$ . Periksa dengan menghitung jarak ke pusat — keduanya tetap sama untuk rotasi.

Jebakan: tertukar kaidah refleksi sumbu-x dan sumbu-y. Yang benar: sumbu-x membalik ordinat $y$ menjadi $(x, -y)$ ; sumbu-y membalik absis $x$ menjadi $(-x, y)$ . Cara ingat: sumbu yang disebutkan itulah yang tetap.

Jebakan: pada rotasi $90^\circ$ menukar absis-ordinat lalu keliru menulis $(y, -x)$ . Yang benar: rotasi $90^\circ$ berlawanan jarum jam terhadap $O$ menghasilkan $(-y, x)$ , bukan $(y, -x)$ .

Jebakan: mengalikan luas hanya dengan $k$ pada dilatasi. Yang benar: luas dikalikan $k^2$ karena kedua dimensi (panjang dan lebar) masing-masing dikalikan $k$ .

Empat transformasi dasar: translasi (geser), refleksi (cermin), rotasi (putar), dilatasi (skala).
Translasi $(a, b)$ : $(x, y) \rightarrow (x+a,\ y+b)$ .
Refleksi: sumbu-x $\rightarrow (x, -y)$ ; sumbu-y $\rightarrow (-x, y)$ .
Rotasi $180^\circ$ terhadap $O$ : $(x, y) \rightarrow (-x, -y)$ ; $90^\circ$ : $(-y, x)$ .
Dilatasi skala $k$ : koordinat $\times k$ , luas $\times k^2$ .