Sistem Persamaan Linear Dua Variabel — Matematika Penyegaran SMP

Setelah ini kamu bisa menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel lewat grafik, substitusi, dan eliminasi.

Dua bakso dan satu es teh harga Rp20.000. Tiga bakso dan satu es teh Rp27.000. Berapa harga satu bakso dan satu es teh? Inilah soal SPLDV — dua persamaan, dua variabel yang sama. Tiap persamaan adalah satu garis, dan jawabannya tunggal: titik tempat kedua garis berpotongan. Geser kedua garis di bawah, dan temukan jawabannya.

Coba geser titik uji pada grafik di bawah dan perhatikan kapan kedua garis berpotongan di satu titik yang sama.

Apa itu SPLDV

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear yang memuat dua variabel (biasanya $x$ dan $y$ ) dan harus dipenuhi secara bersamaan. Contoh: $\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x + y = 7 \end{cases}$ . Solusi SPLDV adalah pasangan $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

SPLDV adalah himpunan dua persamaan linear dalam dua variabel yang harus dipenuhi bersamaan. Solusi SPLDV adalah pasangan nilai $(x, y)$ yang membuat kedua persamaan menjadi pernyataan benar sekaligus — secara geometris, titik potong kedua garis.

Solusi = titik potong kedua garis

Tiap persamaan linear $ax + by = c$ dapat ditulis ulang menjadi persamaan garis $y = mx + k$ . Dua persamaan SPLDV jadi dua garis. Karena solusi harus memenuhi kedua persamaan, ia harus berada pada kedua garis — itulah titik potongnya. Pada contoh di widget utama, $y = x + 1$ dan $y = -x + 5$ berpotongan di $(2, 3)$ , sehingga $x = 2, y = 3$ adalah solusinya. Geser slider di bawah untuk merasakan bagaimana kedua garis dan titik potongnya berubah.

Metode substitusi

Substitusi berarti mengganti satu variabel dengan ekspresi dari persamaan lain. Ambil $\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x + y = 7 \end{cases}$ . Dari persamaan kedua, $y = 7 - x$ . Substitusikan ke persamaan pertama: $2x + (7 - x) = 10$ , sehingga $x + 7 = 10$ , $x = 3$ . Lalu $y = 7 - 3 = 4$ . Solusinya $(3, 4)$ .

Plot di bawah menampilkan kedua garis $2x + y = 10$ (yaitu $y = 10 - 2x$ ) dan $x + y = 7$ (yaitu $y = 7 - x$ ). Titik potongnya $(3, 4)$ memang solusi yang kita peroleh lewat substitusi.

Metode eliminasi

Eliminasi berarti menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan sehingga satu variabel lenyap. Pada sistem yang sama, kedua persamaan sudah punya koefisien $y$ yang sama (1). Kurangkan persamaan pertama dengan kedua: $(2x + y) - (x + y) = 10 - 7$ , sehingga $x = 3$ . Substitusi balik untuk $y = 4$ . Eliminasi cepat saat koefisien satu variabel bisa disamakan dengan mengalikan salah satu persamaan.

SPLDV adalah dasar aljabar yang sering muncul di TKA Matematika, Penalaran Matematika UTBK, dan Pengetahuan Kuantitatif, biasanya dalam bentuk soal cerita (harga campuran, komposisi campuran). Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aljabar linear sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: keliru tanda saat substitusi, atau menyimpulkan tak hingga solusi padahal kedua garis sejajar (koefisien proporsional).

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Dua bakso dan satu es teh berharga Rp20.000, sedangkan tiga bakso dan satu es teh berharga Rp27.000. Berapa harga satu bakso dan satu es teh?

Misal harga satu bakso $= x$ ribu dan satu es teh $= y$ ribu. Sistem: $\begin{cases} 2x + y = 20 \\ 3x + y = 27 \end{cases}$ (dalam ribu rupiah).

Kurangkan persamaan kedua dengan pertama: $(3x + y) - (2x + y) = 27 - 20$ , sehingga $x = 7$ . Harga satu bakso Rp7.000.

Substitusi $x = 7$ ke $2x + y = 20$ : $2(7) + y = 20$ , $14 + y = 20$ , $y = 6$ . Harga satu es teh Rp6.000.

Berlatihlah menyelesaikan SPLDV lewat substitusi di bawah.

Jebakan: menyimpulkan SPLDV selalu punya satu solusi. Yang benar: dua garis bisa berpotongan (satu solusi), sejajar (tak ada solusi), atau berimpit (tak hingga solusi). Cek apakah koefisien kedua persamaan proporsional — jika ya dan konstanta sama, berimpit; jika beda, sejajar.

Jebakan: keliru tanda saat substitusi, terutama saat mengganti $-x$ atau $-y$ . Yang benar: tulis ulang $y = ...$ dengan hati-hati, lalu substitusi dengan tanda kurung — $2x + (7 - x)$ , bukan $2x + 7 - x$ yang mudah salah tanda.

SPLDV = dua persamaan linear dua variabel yang dipenuhi bersamaan; solusi $(x, y)$ ada pada kedua garis.
Secara geometris, solusi = titik potong kedua garis.
Substitusi: isolasi satu variabel lalu ganti ke persamaan lain.
Eliminasi: jumlah/kurangi kedua persamaan agar satu variabel lenyap.
Dua garis sejajar = tak ada solusi; berimpit = tak hingga solusi.