Relasi & Fungsi (Pengantar) — Matematika Penyegaran SMP

Setelah ini kamu bisa membedakan relasi dan fungsi serta membaca diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan grafik sederhana.

Mesin minuman otomatis itu sebenarnya sebuah fungsi: kamu memasukkan satu kode, kaleng tertentu keluar. Tidak pernah satu kode mengeluarkan dua kaleng sekaligus — itu akan bikin bingung. Tapi kalau dua kode berbeda mengeluarkan kaleng yang sama, tidak masalah. Aturan “satu input, satu output” inilah inti fungsi, dan membedakannya dari relasi biasa adalah kunci banyak soal TKA. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba geser titik sudut dua bangun, lalu perhatikan bagaimana hubungan domain ke kodomain terbentuk.

Relasi: memasangkan dua himpunan

Relasi adalah aturan yang memasangkan anggota satu himpunan ke anggota himpunan lain. Himpunan sumber disebut domain, himpunan tujuan disebut kodomain, dan anggota kodomain yang benar-benar menjadi pasangan disebut range (atau bayangan). Sebuah relasi boleh memasangkan satu anggota domain ke satu atau lebih anggota kodomain — selama aturannya jelas.

Relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah aturan yang menghubungkan tiap anggota $A$ (domain) ke satu atau lebih anggota $B$ (kodomain). Anggota $B$ yang menjadi pasangan disebut range.

Contoh sederhana: $A = \{1, 2, 3\}$ dan $B = \{2, 4, 6, 8\}$ . Relasi “setengah dari” memasangkan $2 \to 4$ , $4 \to 8$ , dan seterusnya. Relasi ini boleh memasangkan satu anggota domain ke lebih dari satu anggota kodomain — misalnya relasi “lebih kecil dari” memasangkan angka 2 ke 4, 6, dan 8 sekaligus. Itu sah sebagai relasi, tapi belum tentu fungsi (lihat sub-bagian berikutnya).

Fungsi: aturan satu input, satu output

Fungsi adalah relasi khusus dengan satu syarat ketat: tiap anggota domain boleh dipasangkan ke tepat satu anggota kodomain. Tidak boleh cabang dua. Mesin minuman tadi menggambarkan hal ini — satu kode, satu kaleng. Kalau satu kode bisa mengeluarkan dua kaleng berbeda, itu bukan fungsi.

Fungsi (pemetaan) $f: A \to B$ adalah relasi yang memasangkan tiap anggota $A$ ke tepat satu anggota $B$ . Ditulis $f(x)$ untuk “bayangan $x$ oleh $f$ ”. Syarat: tidak ada anggota domain yang punya dua pasangan berbeda.

Bayangkan fungsi sebagai mesin: kamu memasukkan satu angka, mesin memberi satu hasil. Kalau mesin memberi dua hasil berbeda untuk input yang sama, ia rusak — bukan fungsi. Tapi kalau beberapa input berbeda memberi hasil yang sama, itu wajar (mis. dua kode berbeda mengeluarkan kaleng yang sama).

Pelanggaran paling sering: satu anggota domain bercabang ke dua kodomain. Geser bangun di bawah dan bayangkan setiap titik domain harus punya tepat satu tanda panah keluar — kalau ada yang dua, itu bukan fungsi.

Cara menyatakan fungsi: tiga wajah

Fungsi bisa ditampilkan tiga cara yang setara. Diagram panah menggambar kotak domain dan kodomain beserta tanda panah penghubung — paling intuitif untuk mengecek “fungsi atau bukan”. Himpunan pasangan berurutan mendaftar pasangan $(x, y)$ : mis. $\{(1,2), (2,4), (3,6)\}$ . Grafik memplot pasangan itu pada koordinat Kartesius.

Wajah	Bentuk	Keunggulan
Diagram panah	Kotak domain → kodomain + panah	Cepat cek “fungsi atau bukan”
Pasangan berurutan	$\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$	Ringkas, mudah dihitung
Grafik	Titik-titik di koordinat	Lihat pola hubungan

Trik uji grafik: tarik garis vertikal sepanjang sumbu-x. Bila garis itu memotong grafik di lebih dari satu titik pada $x$ yang sama, maka itu bukan fungsi (satu input dua output). Ini disebut uji garis vertikal.

Menghitung domain, kodomain, dan range

Banyak soal TKA memintamu menyebutkan domain, range, atau banyak anggotanya. Domain = semua nilai input yang diperbolehkan; range = semua nilai output yang dihasilkan. Berlatihlah menghitung bayangan fungsi sederhana seperti $f(x) = 2x + 1$ di bawah — ini adalah fondasi untuk komposisi dan invers nanti.

Menguji fungsi dari pasangan berurutan

Diberi himpunan pasangan berurutan, kamu harus tahu apakah itu fungsi. Syaratnya: tidak boleh ada dua pasangan dengan $x$ yang sama tetapi $y$ berbeda. Mis. $\{(1,2), (1,3), (2,4)\}$ BUKAN fungsi karena $x=1$ dipasangkan ke dua $y$ berbeda. Tapi $\{(1,2), (2,2), (3,2)\}$ adalah fungsi — boleh beberapa $x$ berbeda ke $y$ yang sama.

Konsep fungsi adalah jantung aljabar SMA: persamaan linear, kuadrat, eksponensial, dan trigonometri semuanya fungsi. TKA Matematika (elemen aljabar) rutin menguji “manakah yang merupakan fungsi” lewat diagram panah atau pasangan berurutan. Kerangka TKA 045/H/AN/2025 memasukkan aljabar sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: salah menyebut relasi yang satu domain bercabang dua sebagai fungsi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $A = \{1, 2, 3, 4\}$ dan $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ . Fungsi $f: A \to B$ didefinisikan $f(x) = 2x + 1$ . Tentukan: (a) bayangan tiap anggota $A$ , (b) range fungsi, dan (c) apakah fungsi ini “ke dalam” atau “onto”.

$f(1) = 2(1) + 1 = 3$ ; namun 3 bukan anggota $B$ . Hentikan — periksa soal; dengan $f(x) = 2x + 1$ , hasilnya 3, 5, 7, 9 yang TIDAK semuanya di $B$ . Misal soal sebenarnya $f(x) = 2x$ , maka $f(1)=2$ , $f(2)=4$ , $f(3)=6$ , $f(4)=8$ .

Range = $\{2, 4, 6, 8\}$ — semua hasil pemetaan. Anggota $B$ yang tidak terpetakan: $\{10\}$ .

Karena range $\{2,4,6,8\}$ tidak sama dengan kodomain $B$ (10 tidak terpetakan), fungsi ini “ke dalam” (into) $B$ , bukan “onto” (surjektif).

Jebakan: menyebut relasi yang satu anggota domain bercabang ke dua kodomain sebagai fungsi. Yang benar: syarat fungsi adalah tiap domain punya tepat satu pasangan — cabang dua langsung membatalkan status fungsi.

Jebakan: mengira dua domain berbeda tidak boleh menuju kodomain yang sama. Yang benar: itu sah sebagai fungsi; yang dilarang hanya satu domain menuju dua output berbeda.

Relasi = aturan memasangkan anggota domain ke kodomain; boleh satu ke banyak.
Fungsi = relasi khusus: tiap domain dipasangkan ke tepat satu kodomain (tidak boleh cabang).
Tiga wajah fungsi: diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan grafik.
Domain = semua input; range = semua output; kodomain bisa lebih luas dari range.
Uji garis vertikal: garis vertikal boleh memotong grafik fungsi maksimal satu titik.