Teorema Pythagoras: a² + b² = c² — Matematika Penyegaran SMP

Setelah ini kamu bisa memakai $a^2 + b^2 = c^2$ untuk mencari sisi segitiga siku-siku dan jarak dua titik.

Pernah bertanya berapa panjang diagonal layar TV yang diiklankan “42 inci”? Atau seberapa jauh ujung tangga menyentuh dinding saat kau miringkannya? Keduanya berbentuk segitiga siku-siku, dan satu rumus pendek bisa menjawabnya: jumlah luas persegi di dua sisi pendek sama persis dengan luas persegi di sisi terpanjang. Seret titik-titik di bawah, dan lihat sendiri keajaiban itu.

Seret titik sudut segitiga, lalu perhatikan bagaimana panjang tiap sisi berubah saat sudut sikunya berpindah.

Tiga sisi segitiga siku-siku

Sebelum bicara rumus, kenali dulu wujudnya. Segitiga siku-siku punya satu sudut siku — sudut tegak lurus 90°. Sisi yang berhadapan dengan sudut siku disebut sisi miring (atau hipotenusa): selalu sisi terpanjang dari ketiganya. Dua sisi lainnya yang membentuk sudut siku kita sebut sisi tegak dan sisi mendatar.

Sisi miring adalah sisi di hadapan sudut siku; ia selalu yang terpanjang pada segitiga siku-siku. Dua sisi lain yang saling tegak lurus disebut sisi siku-siku (tegak dan mendatar).

Pada bangun di atas, sudut siku ada di titik B, jadi sisi di hadapannya — yaitu AC — adalah sisi miring. Sisi AB dan BC adalah dua sisi siku-sikunya. Coba seret titik A atau C: posisi sudut siku tetap di B, dan sisi miring selalu melintang di depannya.

Bukti visual: tiga persegi di setiap sisi

Inilah inti Teorema Pythagoras. Bayangkan kamu menumbuhkan sebuah persegi pada tiap sisi segitiga siku-siku. Luas persegi itu sama dengan pangkat dua panjang sisinya: persegi di sisi $a$ berluas $a^2$ , persegi di sisi $b$ berluas $b^2$ , persegi di sisi miring $c$ berluas $c^2$ . Teorema Pythagoras menyatakan bahwa luas dua persegi kecil jika dijumlahkan persis sama dengan luas persegi terbesar.

$a^2 + b^2 = c^2$

Arti tiap simbol: $a$ dan $b$ = panjang dua sisi siku-siku, $c$ = panjang sisi miring.

Buktikan sendiri dengan bangun di bawah. Seret titik-titik ke berbagai posisi — bilangan kuadrat tiap sisi dan jumlahnya akan terus dihitung ulang. Apa pun bentuk segitiga siku-sikunya, $a^2 + b^2$ selalu sama dengan $c^2$ .

Bayangkan dua persegi kecil sebagai dua nampan berisi air. Kalau air dari dua nampan itu dituangkan ke persegi besar, airnya pas memenuhi persegi besar sampai penuh. Itulah makna $a^2 + b^2 = c^2$ secara visual — bukan sihir, melainkan sifat khusus segitiga siku-siku.

Mencari sisi miring dari dua sisi siku-siku

Rumus itu bukan sekadar pernyataan; ia alat hitung. Bila kamu tahu panjang dua sisi siku-siku, sisi miring bisa dicari. Misalnya $a = 3$ dan $b = 4$ : maka $c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ , sehingga $c = \sqrt{25} = 5$ .

Coba sendiri di bawah: seret titik A sepanjang sumbu mendatar dan titik C sepanjang sumbu tegak, lalu baca $c$ yang terhitung otomatis sebagai sisi miring. Apa pun pasangan $a$ dan $b$ , akar dari $a^2 + b^2$ selalu memberi panjang sisi miring.

Mencari sisi tegak atau mendatar

Kadang yang diketahui justru sisi miring dan satu sisi siku-siku. Bisa dong dicari sisi siku-siku yang lain — rumusnya tinggal dibalik. Misalnya sisi miring $c = 13$ dan satu sisi $a = 5$ : maka $b^2 = c^2 - a^2 = 169 - 25 = 144$ , sehingga $b = \sqrt{144} = 12$ .

Seret ujung C ke berbagai ketinggian di bawah ini, sementara panjang AB dikunci sebagai sisi miring. Perhatikan bagaimana $b$ (sisi tegak) menyesuaikan diri memenuhi $a^2 + b^2 = c^2$ .

Aplikasi: jarak dua titik

Teorema Pythagoras bukan cuma soal segitiga gambar — ia alat mengukur jarak. Dua titik pada bidang koordinat bisa dianggap ujung-ujung sisi miring sebuah segitiga siku-siku yang dua sisinya sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y. Jarak antara titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Arti tiap simbol: $d$ = jarak dua titik, $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ = koordinat kedua titik. Selisih $x$ menjadi sisi mendatar, selisih $y$ menjadi sisi tegak.

Geser titik A dan titik C di bawah ini: jarak antara keduanya persis sama dengan panjang sisi miring yang terhitung — itulah mengapa rumus jarak dua titik hanya Pythagoras yang disamarkan.

Di TKA dan UTBK, Teorema Pythagoras adalah alat serbaguna: muncul saat menghitung diagonal persegi panjang, tinggi segitiga sama sisi, jarak dua titik, panjang sisi limas, sampai jari-jari lingkaran dalam. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan geometri dan pengukuran sebagai cakupan resmi. Jebakan paling sering: salah menentukan mana sisi miring — selalu yang di hadapan sudut siku, yaitu sisi terpanjang.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Sebuah tangga sepanjang 5 meter disandarkan pada dinding tegak. Kalau kaki tangga berjarak 3 meter dari dasar dinding, berapa tinggi dinding yang dijangkau ujung tangga? Lalu, sebuah layar TV berdiagonal 25 inchi dengan lebar 15 inchi — berapa tinggi layarnya?

Tangga, dinding, dan tanah membentuk segitiga siku-siku: sudut sikunya di titik dasar dinding (tempat dinding bertemu tanah). Sisi miring adalah tangga itu sendiri, yaitu $c = 5$ . Satu sisi siku-siku adalah jarak kaki tangga ke dinding, $a = 3$ . Yang ditanya adalah sisi siku-siku lainnya, $b$ .

Gunakan $b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ , jadi $b = \sqrt{16} = 4$ . Ujung tangga mengenai dinding pada tinggi 4 meter.

Layar TV juga segitiga siku-siku: diagonal adalah sisi miring $c = 25$ , lebar adalah satu sisi siku-siku $a = 15$ , tinggi adalah $b$ . Hitung $b^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$ , jadi $b = \sqrt{400} = 20$ . Tinggi layarnya 20 inchi.

Cocokkan jawaban TV di segitiga di bawah: seret titik agar sisi mendatar = 15 dan sisi miring = 25 — sisi tegak harusnya terbaca 20.

Jebakan: menganggap sisi yang diberi label $c$ otomatis adalah sisi miring. Yang benar: sisi miring adalah sisi di hadapan sudut siku, yaitu sisi terpanjang — tak peduli huruf apa yang dipakai menamainya. Selalu periksa letak sudut siku dulu.

Jebakan: menjumlahkan dua sisi lalu dikuadratkan, $c = a + b$ . Yang benar: kuadratkan dulu tiap sisi baru dijumlahkan, $c^2 = a^2 + b^2$ , lalu ambil akar. Urutan ini wajib — kuadrat-jumlah-akar.

Teorema Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ hanya berlaku pada segitiga siku-siku.
Sisi miring $c$ selalu di hadapan sudut siku dan merupakan sisi terpanjang.
Untuk mencari sisi miring: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Untuk mencari sisi siku-siku: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ .
Jarak dua titik = Pythagoras tersamarkan: $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ .