Pembagian Polinomial & Skema Horner — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa membagi polinomial dengan pembagian bersusun dan dengan skema Horner, serta membandingkan kapan memakai keduanya.

Kamu sudah bisa membagi bilangan bersusun: $132 \div 5$ menghasilkan hasil 26 sisa 2. Ternyata cara yang sama berlaku untuk polinomial — kamu membagi suku demi suku, dari pangkat tertinggi. Tapi kalau pembaginya berbentuk $(x - k)$ , ada jalan pintas yang jauh lebih cepat: skema Horner. Coba lihat sendiri di bawah.

Berlatihlah menghitung hasil bagi bersusun pada soal ber-parameter; tekan “Soal baru” untuk mengganti angka.

Pembagian bersusun: prinsipnya

Pembagian polinomial bersusun meniru pembagian bilangan bulat. Kamu menulis polinomial dibagi di dalam, pembagi di luar, lalu membagi suku berpangkat tertinggi berulang kali hingga derajat sisa lebih kecil dari derajat pembagi.

Hasil bagi dan sisa memenuhi hubungan $P(x) = H(x) \cdot D(x) + S(x)$ , dengan $D(x)$ pembagi, $H(x)$ hasil bagi, dan $S(x)$ sisa yang derajatnya lebih kecil dari derajat $D(x)$ .

Mulailah dengan membagi suku pangkat tertinggi $P$ dengan suku pangkat tertinggi $D$ ; hasilnya menjadi suku pertama $H$ . Kalikan suku ini dengan seluruh $D$ , kurangkan dari $P$ , lalu ulangi pada sisa yang baru. Setiap langkah menurunkan derajat satu tingkat. Berhenti saat derajat sisa kurang dari derajat $D$ .

Bayangkan kamu sedang “membongkar” polinomial lapis demi lapis, seperti mengupas bawang. Setiap pembagian suku tertinggi mengupas satu lapis pangkat, menyisakan polinomial yang derajatnya turun satu. Setelah lapis terakhir, yang tinggal adalah sisa yang tak bisa dikupas lagi.

Satu hal yang sering terlewat: selalu lengkapi suku-suku nol sebelum membagi. Misalnya, kalau $P(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ , tulislah ia sebagai $x^4 + 0x^3 - 5x^2 + 0x + 3$ . Tanpa koefisien nol ini, kamu mudah keliru menempatkan suku hasil bagi.

Skema Horner: jalan pintas untuk pembagi (x − k)

Skema Horner adalah cara ringkas membagi polinomial dengan pembagi linear $(x - k)$ . Alih-alih menulis bersusun panjang, kamu cukup menyusun koefisien $P$ dalam satu baris, lalu mengalikan-menambah berurutan dari kiri ke kanan.

$P(x) = (x - k) \cdot H(x) + S$

Arti tiap simbol: $k$ = konstanta pembagi linear $(x - k)$ ; $H(x)$ = hasil bagi (derajat satu di bawah $P$ ); $S$ = sisa berupa konstanta, sebab derajat sisa harus kurang dari derajat pembagi (yaitu satu).

Langkah Horner untuk $P(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ dibagi $(x - k)$ : tulis barisan koefisien $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ . Turunkan $a_n$ apa adanya. Lalu untuk tiap koefisien berikutnya, hitung baru = lama + (hasil sebelumnya × k). Baris terakhir yang muncul adalah sisa $S$ , sedangkan baris di atasnya (kecuali suku terakhir) adalah koefisien $H(x)$ .

Keuntungan utama Horner: lebih cepat, lebih sedikit penulisan, dan lebih kebal terhadap kesalahan tanda. Kerugiannya: ia hanya berlaku untuk pembagi linear. Untuk pembagi kuadrat atau lebih tinggi, kamu tetap perlu pembagian bersusun.

Latihan skema Horner

Perhatikan dari pembahasan di atas: sisa pembagian oleh $(x - k)$ selalu sama dengan $P(k)$ . Inilah jembatan menuju teorema sisa yang akan kamu pelajari di artikel lanjutan. Untuk saat ini, cukup ingat bahwa Horner memberi kamu sisa sekaligus koefisien hasil bagi dalam satu tabel ringkas.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap meminta kamu menentukan sisa pembagian atau memanfaatkan bahwa sebuah polinomial habis dibagi $(x - k)$ . Skema Horner sangat hemat waktu di sini, terutama bila koefisien polinomialnya berupa bilangan bulat kecil. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan pembagian polinomial sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Bagilah $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$ dengan $(x - 2)$ menggunakan skema Horner. Tentukan hasil bagi dan sisanya.

Pembaginya $(x - 2)$ , jadi $k = 2$ . Koefisien $P$ dari pangkat tertinggi: $2, -3, 1, -5$ . Tuliskan keempatnya dalam satu baris, dengan $k = 2$ di pinggir kiri.

Turunkan $2$ apa adanya. Ini adalah koefisien berderajat tertinggi hasil bagi.

Hitung: $2 \times 2 + (-3) = 1$ ; lalu $1 \times 2 + 1 = 3$ ; lalu $3 \times 2 + (-5) = 1$ . Tiga angka teratas adalah koefisien $H(x)$ , sedangkan angka terakhir $1$ adalah sisa. Jadi $H(x) = 2x^2 + x + 3$ dan sisanya $S = 1$ . Cek: $P(2) = 16 - 12 + 2 - 5 = 1$ . Cocok.

Tantangan diri: sebut sisa pembagian sebuah polinomial oleh $(x - k)$ tanpa menulis seluruh tabel Horner. Karena sisa selalu sama dengan $P(k)$ , kamu bisa langsung substitusi.

Jebakan: memakai skema Horner untuk pembagi berbentuk kuadrat seperti $(x^2 - 4)$ . Yang benar: Horner hanya berlaku untuk pembagi linear $(x - k)$ . Untuk pembagi kuadrat atau lebih tinggi, gunakan pembagian bersusun.

Jebakan: melupakan suku berkoefisien nol saat membagi bersusun, misalnya $x^4 - 5x^2 + 3$ ditulis tanpa $0x^3$ dan $0x$ . Yang benar: lengkapi dulu menjadi $x^4 + 0x^3 - 5x^2 + 0x + 3$ sebelum membagi, agar penempatan koefisien hasil bagi tidak geser.

Jebakan: menganggap sisa pembagian selalu nol bila hasil baginya bilangan bulat. Yang benar: sisa boleh bukan nol; nol hanya terjadi jika pembagi adalah faktor $P$ . Cek selalu dengan $S = P(k)$ .

Pembagian bersusun: bagi suku berpangkat tertinggi berulang hingga derajat sisa < derajat pembagi.
Hubungan dasar: $P(x) = H(x) \cdot D(x) + S(x)$ , dengan derajat $S$ < derajat $D$ .
Skema Horner: jalan pintas untuk pembagi $(x - k)$ , melalui kalikan-tambah koefisien.
Sisa pembagian oleh $(x - k)$ selalu sama dengan $P(k)$ .
Sebelum bersusun, lengkapi suku berkoefisien nol agar tidak salah tempat.