Polinomial: Derajat, Koefisien, dan Operasinya — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa mengenali derajat dan koefisien sebuah polinomial, serta menjumlahkan dan mengalikan dua polinomial dengan benar.

Saat kamu merakit tabel harga kamar berdasarkan jumlah orang, atau menghitung isi tabung dari jari-jari, kamu sebenarnya sudah menjumpai bentuk seperti $x^2$ , $x^3$ , bahkan $x^4$ . Semua itu satu keluarga: polinomial. Kalau kamu sudah jago memfaktorkan $x^2 - 5x + 6$ , kini waktunya melompat ke bentuk yang lebih besar. Coba lihat sendiri di bawah.

Susun ubin aljabar dengan menyeret titik sudut, lalu amati derajat polinomial yang terbentuk.

Apa itu polinomial

Sebuah polinomial dalam variabel $x$ adalah bentuk penjumlahan suku-suku berbentuk $a_n x^n$ , dengan $a_n$ koefisien dan $n$ bilangan bulat tak negatif. Bentuk umumnya adalah $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ .

Derajat polinomial adalah pangkat tertinggi yang koefisiennya bukan nol. Sebagai contoh, $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ berderajat empat, sedangkan $Q(x) = 7x - 1$ berderajat satu.

Yang membedakan polinomial dari bentuk aljabar biasa adalah aturan pangkatnya. Pangkat tiap suku harus bilangan bulat tak negatif: $0, 1, 2, 3, \ldots$ . Itu sebabnya $x^2 + \tfrac{1}{x}$ bukan polinomial, sebab $\tfrac{1}{x} = x^{-1}$ berpangkat negatif. Sebaliknya, $\sqrt{x} = x^{1/2}$ juga bukan polinomial karena pangkatnya pecahan.

Koefisien boleh bilangan apa pun: bulat, pecahan, bahkan negatif. Yang penting, koefisien nol berarti suku itu tidak hadir. Jadi $x^3 + 0x^2 + 2x$ biasa ditulis ringkas $x^3 + 2x$ , dan tetap berderajat tiga.

Mengenali derajat dari grafik

Derajat polinomial menentukan bentuk kurvanya. Polinomial derajat satu adalah garis lurus; derajat dua melengkung jadi parabola; derajat tiga bisa berbelok dua kali; makin tinggi derajat, makin banyak belokan yang mungkin.

Perhatikan kurva derajat tiga (aksen1) di atas: ia berbelok sekali naik lalu sekali turun. Bandingkan dengan parabola derajat dua yang hanya bermuara satu arah di kedua ujungnya. Inilah gambaran paling jelas mengapa derajat penting: ia mengatur watak kurva secara keseluruhan.

Menjumlahkan dan mengurangkan polinomial

Penjumlahan dan pengurangan polinomial sangat sederhana: kelompokkan suku-suku sejenis, lalu jumlahkan koefisiennya. Suku sejenis adalah suku dengan pangkat variabel yang sama. Misalnya, $3x^2$ dan $-5x^2$ sejenis; $3x^2$ dan $3x$ tidak sejenis.

$(P + Q)(x) = (a_n + b_n) x^n + \cdots + (a_0 + b_0)$

Arti tiap simbol: $a_n, b_n$ = koefisien suku $x^n$ pada $P$ dan $Q$ ; suku yang hanya ada di satu polinomial dianggap memiliki koefisien nol di polinomial lainnya.

Sebagai contoh, $(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4) = 4x^2 - 3x + 3$ . Kamu cukup menjumlahkan koefisien $x^2$ , lalu koefisien $x$ , lalu konstanta. Pengurangan berlaku serupa: balik tanda polinomial kedua, lalu jumlahkan.

Ingat satu jebakan: derajat hasil penjumlahan bisa lebih kecil dari kedua suku. Contohnya, $(x^2 + 3x) + (-x^2 + x) = 4x$ , yang berderajat satu. Pasalnya, koefisien $x^2$ saling meniadakan. Inilah mengapa kamu harus menyederhanakan dulu sebelum menyimpulkan derajat hasil.

Mengalikan dua polinomial

Perkalian polinomial memakai sifat distributif: kalikan setiap suku polinomial pertama dengan setiap suku polinomial kedua, lalu kumpulkan suku sejenis. Hasil $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$ .

Pikirkan perkalian dua polinomial sebagai luas persegi panjang: sisi-sisinya adalah panjang berbentuk polinomial, dan luasnya adalah hasil kali. Ubin aljabara menegakkan intuisi ini — tarik ubinnya di bawah dan lihat luasnya tumbuh.

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut sering memberi dua polinomial lalu menanyakan derajat atau koefisien suku tertentu dari hasil perkaliannya, tanpa memintamu menghitung seluruh hasil. Trik cepat: derajat hasil perkalian = jumlah derajat kedua faktor; koefisien suku tertinggi = hasil kali koefisien suku tertinggi tiap faktor. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan polinomial berorde sampai empat sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Diketahui $P(x) = 2x^3 - x^2 + 4$ dan $Q(x) = x^2 + 3x - 1$ . Tentukan hasil $P(x) + Q(x)$ dan $P(x) \cdot Q(x)$ , lalu sebutkan derajatnya.

Untuk penjumlahan, sejajarkan suku berpangkat sama: $(2x^3) + (-x^2 + x^2) + (3x) + (4 - 1)$ . Suku $x^3$ hanya ada di $P$ , jadi ia ikut apa adanya.

$P + Q = 2x^3 + 0x^2 + 3x + 3 = 2x^3 + 3x + 3$ . Derajat hasil tetap tiga, sebab tidak ada suku $x^3$ di $Q$ yang meniadakannya.

Untuk $P \cdot Q$ , kalikan tiap suku $P$ dengan $Q$ : $2x^3 \cdot (x^2+3x-1) - x^2 \cdot (x^2+3x-1) + 4 \cdot (x^2+3x-1)$ . Suku berpangkat tertinggi lahir dari $2x^3 \cdot x^2 = 2x^5$ , sehingga derajat hasil perkalian adalah lima (yaitu $3 + 2$ ).

Latih kecepatan membaca derajat hasil perkalian dengan angka acak di bawah. Setiap kali kamu menekan “Soal baru”, dua derajat faktor berubah; tugasmu menyebut derajat hasil perkaliannya.

Jebakan: menyimpulkan derajat hasil penjumlahan selalu sama dengan derajat yang lebih besar. Yang benar: derajat hasil penjumlahan bisa lebih kecil bila koefisien suku berpangkat tertinggi saling meniadakan — misalnya $(x^2 + x) + (-x^2 + 2) = x + 2$ berderajat satu, bukan dua.

Jebakan: menganggap $\sqrt{x}$ atau $\tfrac{1}{x}$ sebagai polinomial. Yang benar: polinomial hanya memuat suku berpangkat bulat tak negatif. Karena $\sqrt{x} = x^{1/2}$ (pangkat pecahan) dan $\tfrac{1}{x} = x^{-1}$ (pangkat negatif), keduanya bukan polinomial.

Polinomial adalah penjumlahan suku $a_n x^n$ dengan pangkat bulat tak negatif.
Derajat polinomial = pangkat tertinggi berkoefisien bukan nol.
Penjumlahan polinomial: kelompokkan suku sejenis, jumlahkan koefisiennya.
Derajat perkalian dua polinomial = jumlah derajat kedua faktor.
Derajat hasil penjumlahan bisa turun bila koefisien suku tertinggi saling meniadakan.