Ekspansi Binomial & Segitiga Pascal — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menjabarkan $(a+b)^n$ dengan koefisien binomial $\binom{n}{k}$ dan membaca koefisiennya dari segitiga Pascal.

Kalikan $(a+b)$ dengan dirinya dua kali dan kamu dapat $a^2 + 2ab + b^2$ . Kalikan tiga kali, muncul $1, 3, 3, 1$ . Empat kali, muncul $1, 4, 6, 4, 1$ . Koefisien ini bukan acak — mereka membentuk pola segitiga yang sudah dikenal para matematikawan sejak abad ke-11. Geser titik pada segitiga di bawah, dan lihat sendiri dari mana angka-angka ajaib itu lahir.

Seret titik-titik pada segitiga Pascal dan amati setiap angka merupakan jumlah dua induk di atasnya.

Dari perkalian berulang ke pola

Menjabarkan $(a+b)^n$ berarti mengalikan $(a+b)$ sebanyak $n$ kali. Untuk $n=2$ : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$ Untuk $n=3$ , kalikan hasilnya dengan $(a+b)$ sekali lagi: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.$ Perhatikan koefisiennya: $1, 3, 3, 1$ . Pola ini lahir dari berapa kali suku $a^k b^{n-k}$ muncul saat kamu mengombinasikan pilihan $a$ atau $b$ dari tiap faktor.

Ekspansi binomial menjabarkan $(a+b)^n$ menjadi jumlah $n+1$ suku berbentuk $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ , dengan $k$ berjalan dari $0$ sampai $n$ .

Koefisien binomial

Koefisien tiap suku adalah koefisien binomial $\binom{n}{k}$ , dibaca ” $n$ pilih $k$ ”.

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!}, \quad (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Arti tiap simbol: $n$ = pangkat (banyak faktor $(a+b)$ ); $k$ = banyak faktor yang menyumbang $b$ ; $n!$ = faktorial $n$ .

Sebagai contoh, koefisien suku $a^2 b^2$ pada $(a+b)^4$ adalah $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \, 2!} = \frac{24}{4} = 6$ . Jadi suku itu $6 a^2 b^2$ . Pangkat $a$ turun dari $n$ ke $0$ , pangkat $b$ naik dari $0$ ke $n$ — jumlah kedua pangkat selalu $n$ .

Segitiga Pascal

Sebagai pintu cepat tanpa menghitung faktorial, kamu bisa membaca koefisien dari segitiga Pascal. Tiap baris menampung koefisien $(a+b)^n$ . Baris ke-0: $1$ . Baris ke-1: $1, 1$ . Baris ke-2: $1, 2, 1$ . Pola pembentuknya sederhana: setiap angka merupakan jumlah dua induk di atasnya.

Pikirkan segitiga Pascal sebagai peta keputusan. Untuk membentuk satu suku dalam $(a+b)^n$ , kamu memilih $b$ dari $k$ faktor (dan $a$ dari sisanya). Banyak cara memilih itulah koefisiennya. Segitiga Pascal menghitung cara-cara itu secara akumulatif, angka demi angka, dari puncak ke bawah.

Pasangan koefisien simetris

Salah satu simetri indah binomial: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ . Itu sebabnya segitiga Pascal selalu simetris kiri-kanan. Geser penanda pasangan pada segitiga di bawah untuk merasakannya.

Latihan suku binomial

Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut kerap menanyakan suku ke- $k$ dari $(a+b)^n$ atau koefisien suku tertentu. Trik hemat waktu: ingat posisi suku (suku ke- $k$ berarti pangkat $b = k-1$ ), lalu baca koefisien dari baris Pascal ke- $n$ alih-alih menghitung faktorial penuh. Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan ekspansi binomial sebagai cakupan resmi jalur MTL.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Jabarkan $(a+b)^5$ sepenuhnya.

Pangkat $n=5$ , jadi baca baris ke-5 segitiga Pascal: $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . Itu enam koefisien yang akan muncul.

$(a+b)^5 = 1a^5 b^0 + 5a^4 b^1 + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5a^1 b^4 + 1a^0 b^5$ .

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5$ . Cek: koefisien simetris $1, 5, 10, 10, 5, 1$ cocok dengan Pascal.

Latih kecepatan membaca koefisien langsung dari segitiga Pascal tanpa menulis rumus faktorial.

Jebakan: mengira jumlah suku ekspansi $(a+b)^n$ adalah $n$ . Yang benar: ada $n+1$ suku, karena $k$ berjalan dari $0$ sampai $n$ . Untuk $(a+b)^4$ , ada 5 suku.

Jebakan: tertukar posisi suku ke- $k$ dengan nilai $k$ . Yang benar: suku ke- $k$ (mulai dari 1) berarti pangkat $b = k-1$ , jadi koefisiennya $\binom{n}{k-1}$ . Suku ke-3 pada $(a+b)^5$ punya koefisien $\binom{5}{2} = 10$ .

Jebakan: menghitung $\binom{n}{k}$ sebagai $n!/(n-k)!$ saja. Yang benar: juga dibagi $k!$ , karena urutan pemilihan tidak dihitung. Lupa membagi $k!$ menghasilkan angka berlipat.

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ , dengan $n+1$ suku.
Koefisien binomial $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ .
Baca koefisien cepat dari baris ke- $n$ segitiga Pascal.
Simetri: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (segitiga simetris kiri-kanan).
Jumlah seluruh koefisien baris ke- $n$ = $2^n$ .