Permutasi Unsur Sama & Siklis — Matematika Kelas 11–12

Setelah ini kamu bisa menghitung banyak susunan kata berhuruf kembar lewat rumus permutasi unsur sama dan menyusun objek melingkar lewat permutasi siklis.

Berapa banyak kata beda yang bisa dibentuk dari huruf MAMA? Dugaan pertama 4! = 24, tapi ternyata jawabannya hanya 12. Penyebabnya: dua M dan dua A itu tidak bisa dibedakan, sehingga banyak susunan yang tampak berbeda sebenarnya identik. Coba lihat sendiri di bawah.

Coba seret huruf pada susunan di bawah dan perhatikan pasangan yang sebenarnya identik runtuh jadi satu.

Masalah unsur yang tidak dapat dibedakan

Rumus permutasi $n!$ menghitung susunan objek yang semua berbeda. Tapi bila ada objek yang identik (mis. dua huruf M yang sama), menukar tempat kedua M tidak menghasilkan susunan baru — keduanya tetap terlihat “MAMA”. Akibatnya, banyak susunan sebenarnya lebih sedikit daripada $n!$ .

Permutasi unsur sama menghitung banyak susunan $n$ objek ketika beberapa di antaranya identik. Bila objek terbagi dalam kelompok identik dengan masing-masing frekuensi $k_1, k_2, \ldots, k_m$ , rumusnya adalah $\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}$ .

Rumus: n! dibagi hasil kali faktorial frekuensi

Ide rumusnya: hitung dulu semua susunan seakan semua objek berbeda ( $n!$ ), lalu bagi dengan banyaknya susunan yang sebenarnya identik akibat unsur sama. Tiap kelompok objek identik berfrekuensi $k$ menyumbang faktor $k!$ di penyebut, karena $k$ objek identik dapat saling dipertukarkan dalam $k!$ cara tanpa mengubah hasil.

$P_{\text{unsur sama}} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}$

Arti tiap simbol: $n$ = total objek, $k_i$ = frekuensi kelompok objek identik ke- $i$ , sehingga $k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n$ .

Bangun di bawah memperlihatkan bagaimana pembagian ini bekerja. Susunan penuh $n!$ dipotong oleh tiap kelompok unsur sama. Seret titik untuk merasakan penyusutan jumlah susunan unik saat jumlah unsur identik bertambah.

Bayangkan kamu mengecat bola merah semua lalu menyalin foto pohon permutasi sebanyak $k!$ kali — semuanya terlihat sama. Maka kamu harus membagi hasilnya dengan $k!$ agar tidak menghitung berulang.

Permutasi siklis: susunan melingkar

Saat objek disusun melingkar (mis. orang duduk mengelilingi meja bundar), tidak ada titik awal mutlak. Karena itu, susunan dianggap sama bila hanya diputar (rotasi) tanpa mengubah urutan relatif. Untuk memperbaikinya, kunci satu objek sebagai acuan, lalu susun $n-1$ sisanya. Hasilnya: $(n-1)!$ .

$P_{\text{siklis}} = (n-1)!$

Arti tiap simbol: $n$ = banyak objek yang disusun melingkar; satu objek dikunci sebagai acuan, sisanya $n-1$ disusun bebas.

Bangun di bawah memperlihatkan objek-objek yang tersusun melingkar. Seret titik untuk memutar susunan — banyak susunan unik = $(n-1)!$ , bukan $n!$ , karena rotasi tidak menghasilkan susunan baru.

Mengapa (n−1)! dan bukan n!

Kunci satu objek sebagai titik tetap (mis. orang tertentu duduk di kursi utara). Setelah satu dikunci, $n-1$ sisanya dapat disusun bebas dalam $(n-1)!$ cara. Cara ini otomatis membuang semua rotasi yang sebelumnya dihitung ganda di $n!$ . Bangun di bawah memperlihatkan satu titik yang dikunci sementara sisanya bebas diseret.

Soal TKA dan UTBK kerap menyelinap lewat kata “kata”, “huruf”, atau “duduk melingkar”. Trik: bila ada huruf/objek kembar, bagi $n!$ dengan hasil kali faktorial frekuensinya. Bila susunannya melingkar, pakai $(n-1)!$ . Kerangka TKA (Peraturan Ka. BSKAP 045/H/AN/2025) memasukkan aturan pencacahan sebagai cakupan resmi.

Coba dulu di kertas, baru buka.

Soal. Berapa banyak kata beda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “MAMA”?

Total huruf $n = 4$ . Frekuensi: ada 2 huruf M dan 2 huruf A, jadi $k_1 = 2$ (M) dan $k_2 = 2$ (A).

$\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2!} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{24}{2 \cdot 2} = \dfrac{24}{4} = 6$ .

Ada $6$ kata beda yang dapat dibentuk: MAMA, MAAM, AMMA, AMAM, MMAA, AAMM.

Setelah itu, uji dirimu dengan latihan berikut — kata dan jumlah huruf kembar berubah setiap kali, tapi pola rumusnya tetap sama.

Jebakan: memakai $n!$ padahal ada unsur identik. Yang benar: bagi $n!$ dengan hasil kali faktorial frekuensi tiap kelompok unsur sama — $\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}$ .

Jebakan: menghitung susunan melingkar dengan $n!$ . Yang benar: kunci satu objek sebagai acuan lalu susun sisanya, hasilnya $(n-1)!$ . Hanya bila ada kursi yang dibedakan (mis. singgasana khusus), barulah kembali ke $n!$ .

Permutasi unsur sama: $\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}$ untuk $n$ objek dengan kelompok identik berfrekuensi $k_i$ .
Pembagian dengan $k!$ membuang susunan duplikat akibat objek identik yang tak bisa dibedakan.
Permutasi siklis (melingkar): $(n-1)!$ karena rotasi tidak menghasilkan susunan baru.
Triknya: kunci satu objek sebagai acuan, susun $n-1$ sisanya.
Bila kursi melingkar dibedakan (singgasana), kembali ke $n!$ .